整数划分问题

[align=left]整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：[/align]
[align=left]n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= mi-1 <= … <= m1 <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。[/align]
[align=left]如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)。[/align]
[align=left]例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}。[/align]
[align=left]注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。[/align]
[align=left]该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。[/align]
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[align=left]（一） 递归法[/align]
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[align=left]根据n和m的关系，考虑以下几种情况： [/align]
[align=left]1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1}；[/align]
[align=left]2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1}；[/align]
[align=left]3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：[/align]
[align=left]a) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；[/align]
[align=left]b) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。[/align]
[align=left] 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1)；[/align]
[align=left]4. 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n)；[/align]
[align=left]5. 当n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：[/align]
[align=left]a) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；[/align]
[align=left]b) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数 为f(n,m-1)；[/align]
[align=left] 因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1)；[/align]
[align=left] [/align]
[align=left]综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中1和2属于回归条件，3和4属于特殊情况，将会转换为情况5。而情况5为通用情况，属于递推 的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：[/align]

[align=left] f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)[/align] [align=left] f(n, n); (n<m)[/align] [align=left] 1+ f(n, m-1); (n=m)[/align] [align=left] f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)[/align]

[align=left] 因此我们可以给出求出f(n, m)的递归函数代码如下（引用Copyright Ching-Kuang Shene July/23/1989的代码）：[/align]

unsigned long GetPartitionCount(int n, int max) { if (n == 1 || max == 1) return 1; else if (n < max) return compute(n, n); else if (n == max) return 1 + GetPartitionCount(n, max-1); else return GetPartitionCount(n,max-1) + GetPartitionCount(n-max, max); }

我们可以发现，这个命 题的特征和另一个递归命题：
“上台阶”问题（斐波 那契数列）
（http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2007/07/13/817188.html）
[align=left]相似，也就是说，由于树的“天然递归性”，使这类问题的解可以通过树来展现，每一个叶子节点的路径是一个解。因此把上面的函数改造一下，让所 有划分装配到一个.NET类库中的TreeView控件，相关代码（c#）如下：[/align]

/// <param name="root">树的根结点</param> /// <param name="n">被划分的整数</param> /// <param name="max">一个划分中的最大数</param> /// <returns>返回划分数，即叶子节点数</returns> private int BuildPartitionTree(TreeNode root, int n, int max) { int count=0; if( n==1) { //{n}即1个n root.Nodes.Add(n.ToString());//{n} return 1; } else if( max==1) { //{1,1,1,…,1} 即n个1 TreeNode lastNode=root; for(int j=0;j<n;j++) { lastNode.Nodes.Add("1"); lastNode=lastNode.LastNode; } return 1; } else if(n<max) { return BuildPartitionTree(root, n, n); } else if(n==max) { root.Nodes.Add(n.ToString()); //{n} count=BuildPartitionTree(root, n, max-1); return count+1; } else { //包含max的分割，{max, {n-max}} TreeNode node=new TreeNode(max.ToString()); root.Nodes.Add(node); count += BuildPartitionTree(node, n-max, max); //不包含max的分割，即所有max-1分割 count += BuildPartitionTree(root, n, max-1); return count; } }

如果我们要输出所有 解，只需要输出所有叶子节点的路径即可，可以同样用递归函数来输出所有叶子节点（代码中使用了一个StringBuilder对象来接收所有叶子节点的路径）：

private void PrintAllLeafPaths(TreeNode node) { //属于叶子节点? if(node.Nodes.Count==0) this.m_AllPartitions.AppendFormat("{0}/r/n", node.FullPath.Replace('//',',')); else { foreach(TreeNode child in node.Nodes) { this.PrintAllLeafPaths(child); } } }

这个小例子的运行效果如下（源代码 都在文中，就不提供下载链接）：



[align=left]通过递归思路，我们给出了n的划分个数的算法，也把所有划分组装到一棵树中。好，关于递归思路我们就暂时介绍到这里。关于输出所有 划分的标准代码在这里省略了，我们有时间再做详细分析。[/align]
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[align=left]（二）母函数法[/align]
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[align=left]下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。[/align]
[align=left]所谓母函数，即为关于x的一个多项式G（x）：[/align]
[align=left]有 G（x）= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... [/align]
[align=left]则我们称G（x）为序列（a0，a1，a2，...）的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。[/align]
[align=left]我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，..., i的个数记为ai，显然：ak<=n/k; (0<= k <=n)[/align]
[align=left]因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字中抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使他们的总和为n。显然，数字i可以有如下可能，出 现0次（即不出现），1次，2次，..., k次，等等。把数字i用(x^i)表示，出现k次的数字i用 x^(i*k)表示，不出现用1表示。例如数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。[/align]
[align=left]则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：[/align]
[align=left]G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)[/align]
[align=left] = g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)[/align]
[align=left] = a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ; （展开式）[/align]
[align=left]上面的表达式中，每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后，由于x^a * x^b=x^(a+b)，因此 x^i 就代表了i的划分，展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数，即f(n,n)=an （上式中g（x，i）表示数字i的所有可能出现情 况）。[/align]
[align=left]由此我们找到了关于整数划分的母函数G（x）；剩下的问题是，我们需要求出G（x）的展开后的所有系 数。[/align]
[align=left]为此我们首先要做多项式乘法，对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：[/align]
g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a
x^n;
[align=left]则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c：[/align]

#define N 130 unsigned long a ;/*多项式a的系数数组*/ unsigned long b ;/*多项式b的系数数组*/ unsigned long c ;/*存储多项式a*b的结果*/ /*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */ /*注意这里我们只需要计算到前N项就够了。*/ void Poly() { int i,j; memset(c,0,sizeof(c)); for(i=0; i<N; i++) for(j=0; j<N-i; j++) /*y<N-i： 确保i+j不会越界*/ c[i+j] += a[i]*b[j]; }

[align=left] 下面我们求出G（x）的展开结果，G（x）是n个多项式连乘的结果：[/align]

/*计算出前N项系数！即g(x,1) g(x,2)... g(x,n)的展开结果*/ void Init() { int i,k; memset(a,0,sizeof(a)); memset(c,0,sizeof(c)); for(i=0;i<N;i++) a[i]=1; /*第一个多项式：g(x, 1) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + … */ for(k=2;k<N;k++) { memset(b,0,sizeof(b)); for(i=0;i<N;i+=k) b[i]=1;/*第k个多项式：g(x, k) = x^0 + x^(k) + x^(2k) + x^(3k) +…*/ Poly(); /* 多项式乘法：c= a*b */ memcpy(a,c,sizeof(c)); /*把相乘的结果从c复制到a中：c=a; */ } }

通过以上的代码，我们就计算出了G（x）的展开后的结果，保存到数组c中。此时有：f(n,n)=c
;剩 下的工作只是把相应的数组元素输出即可。
[align=left]问题到了这里已经解决完毕。但我们发现，针对该问题，g(x,k)是一个比较特殊的多项式，特点是只有k的整数倍的索引位置有项，而其他位置都为0，具有项“稀疏”的特点，并且项次分 布均匀（次数跨度为k）。这样我们就可以考虑在计算多项式乘法时，可以减少一些循环。因此可以对Poly函数做这样的一 个改进，即把k作为参数传递给Poly：[/align]

/*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */ /*改进后，多项式a乘以一个有特殊规律的多项式b，即b中只含有x^(k*i)项，i=0,1,2,…*/ /*如果b没 有规律，只需要把k设为1， 即与原来函数等效*/ void Poly2(int k) /*参数k的含义：表示b中只有b[k*i]不为0！*/ { int i,j; memset(c,0,sizeof(c)); for(i=0; i<N; i++) for(j=0; j<N-i; j+=k) c[i+j] += a[i]*b[j]; }

[align=left]这样，原有的函数可以认为是k=1的情况（即多项式b不具有上诉规律）。相应的，在上面的Init函数中的调用改为Poly2(k)即可。[/align]
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[align=left]参考资料：[/align]
[align=left]（1）关于“递归”部分的代码，参考了Ching-Kuang Shene，July/23/1989的代码；[/align]
[align=left]（2）关于“母函数”部分，参考了《Acm程序设计》（刘 春英）（PPT文档）；[/align]
[align=left]（3）“母函数”方法的Init和Poly的代码，参考 了某位教师的代码 : ymc 2008/09/25，其中多项式乘法的改 进是我提出的建议。[/align]