数论——欧拉函数

简单总结一下最近学习的欧拉函数
欧拉函数定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目，记作φ（n）。
1、φ（1） = 1；
2、n为质数， φ（n） = n-1;
3、 n是某个质数的幂次 φ（pk） = pk - pk-1
= pk*(1 – 1/p)
证：这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
φ（8） = 23 - 22 = 4；
4、 n可以分解为两个互质数的积， φ（p1*p2） = φ（p1）*φ（p2）（p1, p2 为质数， 以下同，不在赘述）;
如 φ（56） = φ（7）*φ（8） = 4*6 = 24；
5、把n进行质因分解， 得到n = p1a1*p2a2*p3a3*p4a4……pkak
由（4）得 φ （n）= φ（p1a1）*φ（p2a2）*φ（p3a3）*φ（p4a4）……φ（pkak）
由（3）得 φ（n） = p1a1*(1 - 1/p1)*p2a2*(1-1/p2)*p3a3*(1 – 1/p3)*……*pkak*(1 – 1/pk)
6、由5结果得求欧拉函数的基本公式
φ（n）= n* (1 - 1/p1)*(1-1/p2)* (1 – 1/p3)*……*(1 – 1/pk)
 
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
 
欧拉定理
a与n互质，aφ（n）≡ 1 (mod n)
当n为质数时有费马小定理
ap-1≡ 1 (mod p)  
 
欧拉定理的推广——有关的高次幂取模（指数循环节）
公式： ax mod(c)=a(x mod phi(c) +phi(c)) mod(c)， (x>=phi(c))           注：(phi==φ)
欧拉函数代码

const int MAXN = 1e6;//打表的范围
int prime[MAXN+10], cnt = 0;
int a[MAXN+10];

void init(){//素数筛
for(int i = 2; i <= MAXN; i++) a[i] = true;
for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
if(a[i]){
prime[++cnt] = i;
}
for(int j = 1; j <= cnt; j++){
if(prime[j]*i > MAXN) break;
a[prime[j]*i] = false;
if(i%prime[j] == 0) break;
}
}
}

int Euler(int n){//欧拉函数
int ans = n;
for(int i = 1; i <= cnt && prime[i] <= n; i++){
if(n%prime[i] == 0){
while(n%prime[i] == 0){
n /= prime[i];
}
ans = ans/prime[i]*(prime[i]-1);
}
}
return ans;
}