数论 —— 欧拉函数

欧拉函数，用φ(n)表示欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目

求n的欧拉函数时我们可以减去它的所有素数因子以及它的倍数
φ（12）：12 == 2*2*3
素数因子有2 ，3所以我们减掉2，3的倍数
2的倍数：2，4，6，8，10，12
3的倍数：3，6，9，12
显然2，3存在重复项6，12
根据容斥定理我们可以得知
φ（12） = 12 - （12/2 + 12/3 ）+12/（2*3）
容斥会很麻烦所以我们需要考虑简化版
φ（12）=12*（1-1/2）*（1-2/3） ==  12 - （12/2 + 12/3 ）+12/（2*3）

phi(1)=1
代码实现：int phi(int x){
int ans = x;
for(int i = 2; i*i <= x; i++){//查找素数因子
if(x % i == 0){
ans = ans / i * (i-1);
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) ans = ans / x * (x-1);
return ans;
}单个查找时间复杂度为O（√n）
可以用埃筛的方法预处理数据#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
int phi
;
void Euler(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i ++){
if(!phi[i]){
for(int j = i; j < N; j += i){
if(!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
}
}
}
}
int main(){
Euler();
}