线性代数 04.02 向量组的线性相关性

§第四章第二节向量组的线性相关性

一、向量组

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.

例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量.

α j =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 1j a 2j ⋮a mj ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,(j=1,2,⋯,n)

它们组成的向量α 1 ,α 2 ,⋯,α n 称为A的列向量组.

m×n矩阵A又有m个n维行向量.

α T i =(a i1 ,a i2 ,⋯,a in ),(i=1,2,⋯,m)

他们组成的行向量组α T 1 ,α T 2 ,⋯,α T m 称为矩阵A的行向量组.

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.例如:

m个n维列向量所组成的向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 构成一个n×m矩阵.

A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m );

m个n维行向量所组成的向量组β T 1 ,β T 2 ,⋯,β T m 构成一个m×n矩阵.

B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ β T 1 β T 2 ⋮β T m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋯a m1 a 12 a 22 ⋯a m2 ⋯⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋯a mn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

线性方程组可以写成矩阵的形式Ax=b,矩阵可以写成向量组的形式,方程组也可以写成向量组的形式.

x 1 α 1 +x 2 α 2 +⋯+x n α n =b,

由此可见，线性方程组与其增广矩阵B=(A|b)的列向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,b之间也有一一对应的关系.

二、线性组合

定义3.给定向量组A:α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,对于任何一组实数k 1 ,k 2 ,⋯,k m ,向量k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m α m 称为向量组A的一个线性组合,k 1 ,k 2 ,⋯,k m 称为这个线性组合的系数.

线性表示：给定向量组A:α 1 ,α 2 ,⋯,α m 和向量b,如果存在一组数λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ m ,使b=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m 则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.

向量组b能由向量组A线性表示,也就是线性方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +⋯+x m α m =b有解.由第三章定理3,即可得到:

定理1.向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m )的秩等于矩阵B=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,b)的秩.

三、等价向量组

定义4.设有两个向量组A:α 1 ,α 2 ,⋯,α m 及B:b 1 ,b 2 ,⋯,b s ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.

把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m )和B=(b 1 ,b 2 ,⋯,b s ),B组能由A组线性表示,即对B组的每个向量b j (j=1,2,⋯,s)存在数k 1j ,k 2j ,⋯,k mj ,使b j =k 1j α 1 +k 2j α 2 +⋯+k mj α m =(α 1 ,α 2 ,⋯,α m )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ k 1j k 2j ⋮k mj ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 从而(b 1 ,b 2 ,⋯,b s )=(α 1 ,α 2 ,⋯,α m )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ k 11 k 21 ⋮k m1 k 12 k 22 ⋮k m2 ⋯⋯⋮⋯ k 1s k 2s ⋮k ms ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

这里，矩阵K m×s =(k ij )称为这一线性表示的系数矩阵.

由此可知,若C m×n =A m×s B s×n ,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵:(c 1 ,c 2 ,⋯,c n )=(α 1 ,α 2 ,⋯,α s )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ b 11 b 21 ⋮b s1 b 12 b 22 ⋮b s2 ⋯⋯⋮⋯ b 1n b 2n ⋮b sn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 同时,C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵:⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ γ T 1 γ T 2 ⋮γ T m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 a 21 ⋮a m1 a 12 a 22 ⋮a m2 ⋯⋯⋮⋯ a 1s a 2s ⋮a ms ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ β T 1 β T 2 ⋮β T m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

综合上述讨论,矩阵A经过初等行变换成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合,即B的行向量组能由A的行向量组线性表示.由于初等变换可逆,则矩阵B亦可以经过初等行变换为A,从而A的行向量组也能由B的行向量组线性表示.于是A的行向量组与B的行向量组等价.同理可知,若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B,则A的列向量组与B的列向量组等价.

等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组.

四、向量组的线性相关性

定义5.给定向量组A:α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,如果存在不全为零的数k 1 ,k 2 ,⋯,k m ,使k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m α m =0则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关.

1)一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0.

2)两个向量线性相关的充分必要条件是对应的分量成比例.

3)三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.

4)一个向量α线性无关的充分必要条件是α≠0.

5)两个向量线性无关的充分必要条件是他们对应的分量不成比例.

例1.判断下列向量的线性相关性.

1)α T 1 =(1,1,1),α T 2 =(0,2,5),α T 3 =(1,3,6)

2)β T 1 =(1,0,0),β T 2 =(1,2,1),β T 3 =(1,0,1)

解:1)设有x 1 ,x 2 ,x 3 使x 1 α T 1 +x 2 α T 2 +x 3 α T =0(1)即(x 1 +x 3 ,x 1 +2x 2 +3x 3 ,x 1 +5x 2 +6x 3 )=(0,0,0)

亦即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +x 3 =0x 1 +2x 2 +3x 3 =0x 1 +5x 2 +6x 3 =0

由于∣ ∣ ∣ ∣ 111 025 136 ∣ ∣ ∣ ∣ =0,所以,方程组有非零解,即存在不全为零的x 1 ,x 2 ,x 3 使(1)成立.故向量组α T 1 ,α T 2 ,α T 3 是线性相关的.

2)设x 1 ,x 2 ,x 3 使x 1 β T 1 +x 2 β T 2 +x 3 β T 3 =0(2)

即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +x 2 +x 3 =02x 2 =0x 2 +x 3 =0

由于∣ ∣ ∣ ∣ 100 121 101 ∣ ∣ ∣ ∣ =2≠0

所以，方程组仅有零解.即只有当x 1 ,x 2 ,x 3 全为零时(2)成立.故向量组β T 1 ,β T 2 ,β T 3 是线性无关的.

五、线性相关性的基本定理

定理2.向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m (m≥2)线性相关的充分必要条件是向量中至少有一个向量能由其余的m−1个向量线性表示.

证:充分性,不妨设α m 可由其余的向量线性表示,即有α m =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m−1 α m−1 从而λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m−1 α m−1 +(−1)α m =0因为λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ m−1 ,−1这m个数不全为零,故α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性相关.必要性,设α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性相关,即有不全为零的数k 1 ,k 2 ,⋯,k m 使k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m α m =0不妨设k 1 ≠0,从而有α 1 =−k 2 k 1 α 2 −k 3 k 1 α 3 −⋯−k m k 1 α m 即α 1 能由其余的m−1个向量线性表示.

例2.设α T =(a 1 ,a 2 ,⋯,a n ),e T 1 =(1,0,⋯,0),e T 2 =(0,1,⋯,0),⋯,e T n =(0,0,⋯,1),讨论向量组的线性相关性.

解:显然α T =a 1 e T 1 +a 2 e T 2 +⋯+a n e T n 由定理2知,向量组α T ,e T 1 ,e T 2 ,⋯,e T n 线性相关.

定理3.设α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性无关,而α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,β线性相关,则β能由α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性表示,且表示式是唯一的.

证:因α 1 ,α 2 ,⋯,α m ,β线性相关,故有k 1 ,k 2 ,⋯,k m ,k m+1 不全为零,使k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m α m +k m+1 β=0要证β能由α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性表示,只需证明k m+1 ≠0.用反证法,假设k m+1 =0,则k 1 ,k 2 ,⋯,k m 不全为零,且有k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m α m =0这与α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性无关,矛盾,所以假设不成立.即k m+1 ≠0.从而有β=−k 1 k m+1 α 1 −k 2 k m+2 α 2 −⋯−k m k m+1 α m 再证表示的唯一性.设有两个表示式:β=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m β=k 1 α 1 +k 2 α 2 +⋯+k m α m 两式相减,得(λ 1 −k 1 )α 1 +(λ 2 −k 2 )α 2 +⋯+(λ m −k m )α m =0因α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性无关,所以λ i −k i =0,即λ i =k i (i=1,2,⋯,m).表示式是唯一的.