线性代数 05.06 用配方法化二次型为标准形

§第五章第六节用配方法化二次型为标准形

例1.用配方法化二次型f=x 2 1 +2x 2 2 +5x 2 3 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 化成标准形,并求出所用变换.

f=x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 +x 2 2 +4x 2 3 +4x 2 x 3 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 +x 2 2 +2x 2 (2x 3 )+(2x 3 ) 2 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2

令⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ y 1 =x 1 +x 2 +x 3 y 2 =x 2 +x 3 y 3 =x 3

即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 =y 1 −y 2 +y 3 x 2 =y 2 −2y 3 x 3 =y 3

所用线性变换为:⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 −110 1−21 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3 ⎞ ⎠ ⎟ 则该变换把f化为标准形:f=y 2 1 +y 2 2

例2.用配方法化二次型f=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 −6x 2 x 3 变成标准形,并求出所用变换.

解:在f中不含平方项,由于含有x 1 ,x 2 的乘积项,故令

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 =y 1 +y 2 x 2 =y 1 −y 2 x 3 =y 3

代入得f=2y 2 1 −2y 2 2 −4y 1 y 3 +8y 2 y 3 =2y 2 1 −4y 1 y 3 +2y 2 3 −2y 2 2 +8y 2 y 3 −8y 2 3 +6y 2 3 =2(y 1 −y 3 ) 2 −2(y 2 −2y 3 ) 2 +6y 2 3

令⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ z 1 =y 1 −y 3 z 2 =y 2 −2y 3 z 3 =y 3

即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ y 1 =z 1 +z 3 y 2 =z 2 +2z 3 y 3 =z 3

⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 110 1−10 001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3 ⎞ ⎠ ⎟ 和⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 010 121 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ z 1 z 2 z 3 ⎞ ⎠ ⎟ 所有的线性变换为:⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 110 1−10 001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 100 010 121 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ z 1 z 2 z 3 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 110 1−10 3−11 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ z 1 z 2 z 3 ⎞ ⎠ ⎟ 则该变换把f化成标准形:f=2z 2 1 −2z 2 2 +6z 2 3