线性代数 01.02 n阶行列式的性质

第一章第二节n阶行列式的性质

有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义非常麻烦。当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。

一、转置行列式

把行列式的行换成同序数的列而的到的行列式而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即

D=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 ⋮a n1 a 12 a 22 ⋮a n2 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

D T =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 ⋮a 1n a 21 a 22 ⋮a 2n ⋯⋯⋯ a n1 a n2 ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

D T =numpy.transpose(D)

二、行列式的性质

性质1.行列式与它的转置行列式相等.

证:设

D=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 ⋮a n1 a 12 a 22 ⋮a n2 ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

D T =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 ⋮a 1n a 21 a 22 ⋮a 2n ⋯⋯⋯ a n1 a n2 ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

显然：b ij =a ji (i,j=1,2,⋯,n)D T =∑(−1) t b 1p 1 b 2p 2 ⋯b np n =∑(−1) t a p 1 1 a p 2 2 ⋯a p n n =D

由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也成立，反之亦然。

性质2.互换行列式的两行(列),行列式变号.

证：设行列式D_1

D 1 =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b 11 b 21 ⋮b n1 b 12 b 22 ⋮b n2 ⋯⋯⋯ b 1n b 2n ⋮b nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

是由行列式D变换i,j两行得到的，即当k≠i,j时,b kp =a kp 当k=i,j时,b ip =a jp ,b jp =a ip 于是D 1 =∑(−1) t b 1p 1 ⋯b ip i ⋯b jp j ⋯b np n =∑(−1) t a 1p 1 ⋯a jp i ⋯a ip j ⋯a np n =∑(−1) t a 1p 1 ⋯a ip j ⋯a jp i ⋯a np n =−∑(−1) t 1 a 1p 1 ⋯a ip i ⋯a jp j ⋯a np n =−D

推论:如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零.

证：把相同的行互换，有D=−D,故D=0

性质3.行列式的某一列(行)中所有元素都乘以同一数,等于用此数乘此行列式.

证明:设

D=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 ⋯a i1 ⋯a n1 a 12 ⋯a i2 ⋯a n2 ⋯⋯⋯⋯⋯ a 1n ⋯a in ⋯a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

D 1 =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 ⋯ka i1 ⋯a n1 a 12 ⋯ka i2 ⋯a n2 ⋯⋯⋯⋯⋯ a 1n ⋯ka in ⋯a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

D 1 =∑(−1) t a 1p 1 a 2p 2 ⋯ka ip i ⋯a np n =k∑(−1) t a 1p 1 a 2p 2 ⋯a ip i ⋯a np n =kD

推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.

例如：

∣ ∣ ∣ ∣ 124 369 5711 ∣ ∣ ∣ ∣ =3×∣ ∣ ∣ ∣ 124 123 5711 ∣ ∣ ∣ ∣

性质4.行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.

例如：

∣ ∣ ∣ ∣ 122 366 5710 ∣ ∣ ∣ ∣ =2×∣ ∣ ∣ ∣ 121 363 575 ∣ ∣ ∣ ∣ =0

性质5.行列式的某一列(行)的元素都是两个数之和,则D等于下列两个行列式之和：即.

D=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 ⋮a n1 ⋯⋯⋯ (a 1i +b 1j )(a 2i +b 2j )⋮(a ni +b nj ) ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 ⋮a n1 ⋯⋯⋯ a 1i a 2i ⋮a ni ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ +∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 ⋮a n1 ⋯⋯⋯ b 1j b 2j ⋮b nj ⋯⋯⋯ a 1n a 2n ⋮a nn ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

性质6.把行列式的某一列(行)的各个元素乘以同一个自然数后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.

例如：

D=∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 +ka 11 a 23 +ka 21 a 33 +ka 31 ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ ∣ ∣ +∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 ka 11 ka 21 ka 31 ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ ∣ ∣ +k×∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 11 a 21 a 31 ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ ∣ ∣ +k×0

三、用行列式的性质计算行列式

例1.计算

D=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3−521 110−5 −1313 2−4−1−3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = c 1 ↔c 2 −∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 110−5 3−521 −1313 2−4−1−3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = r 2 −r 1 ,r 4 +5r 1 −∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 3−8216 −141−2 2−6−17 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = r 2 ↔r 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 32−816 −114−2 2−1−67 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = r 3 +4r 2 ,r 4 −8r 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 3200 −118−10 2−1−1015 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = c 4 +c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 3200 −118−10 10−25 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = c 3 +2c 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 3200 1140 10−25 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =1×2×4×5=40

例2.计算

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3111 1311 1131 1113 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = r 1 +r 2 +r 3 +r 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6111 6311 6131 6113 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =6∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1111 1311 1131 1113 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = r 2 −r 1 ,r 3 −r 1 ,r 4 −r 1 6×∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 1200 1020 1002 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =6×8=48

例3.计算

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ aaaa ba+b2a+b3a+b ca+b+c3a+2b+c6a+3b+c da+b+c+d4a+3b+2c+d10a+6b+3c+d ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 前一行(−1)加后一行 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a000 baaa ca+b2a+b3a+b da+b+c3a+2b+c6a+3b+c ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 前一行(−1)加后一行 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a000 ba00 ca+baa da+b+c2a+b3a+b ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 前一行(−1)加后一行 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a000 ba00 ca+ba0 da+b+c2a+ba ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =a 4

例4.计算

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1234 2341 3412 4123 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 10101010 2341 3412 4123 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =10×∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1111 2341 3412 4123 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =10×∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 212−1 31−2−1 4−3−2−1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =10×∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1000 2100 31−30 4−31−4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =120