线性代数笔记2：基本子空间的正交性及性质

基本子空间中有着更加特殊和精确的关系，由此可以引出向量空间的正交性及投影等问题。

正交性及正交补

定义：设SS和TT是RnRn的两个子空间（subspace），如果对于∀V∈S，w∈T，vTw=0∀V∈S，w∈T，vTw=0，则SS垂直于TT（S is perpendicular to T），并且，这个定义是对称的，即SS垂直于TT<=>TT垂直于SS。记做S⊥TS⊥T。也可以说SS和TT是正交的（S and T are orthogonal）。

几个常见结论

设A=B1B2A=B1B2，其中B1B1是n×rn×r 矩阵，B2B2是r×nr×n矩阵，后两矩阵秩都为rr，则AA是一个n×n矩阵，且r(A)=rn×n矩阵，且r(A)=r。

AA的每一列是B1B1的列向量的线性组合，因此C(A)⊂C(B1)C(A)⊂C(B1)。

AA的每一列是B2B2的行向量的线性组合，因此C(AT)⊂C(BT2)C(AT)⊂C(B2T)。

B1B1是列满秩，则存在可逆n×nn×n矩阵E1E1，E1B1=(Ir 0)TE1B1=(Ir 0)T。

B2B2是行满秩，则存在可逆n×nn×n矩阵E2E2，B2E2=(Ir 0)B2E2=(Ir 0)。

C(A)=C(AE2)=C(B1(Ir 0))=C(B1)C(A)=C(AE2)=C(B1(Ir 0))=C(B1)。因此，dimC(A)=dimC(B1)dimC(A)=dimC(B1)，即r(A)=r(B1)=rr(A)=r(B1)=r。

若AA的列向量线性无关，则ATAATA为可逆方阵。

AA列满秩 => Ax=0Ax=0只有零解 => ATAx=0ATAx=0 只有零解 => ATAATA列满秩。

又因为ATAATA是n×nn×n方阵，因此为可逆矩阵。

若S∩T≠{0}S∩T≠{0}，则∃v∈S∩T，vTv≠0∃v∈S∩T，vTv≠0。因此SS和TT不正交。

命题：设SS和TT是RnRn中的两个子空间，且dimS+dimT>n，则S和TdimS+dimT>n，则S和T不正交。

子空间的正交性

定理：设AA是 n×nn×n矩阵，则C(A)和N(AT)C(A)和N(AT)正交，C(AT)C(AT)和N(A)N(A)正交。

设α∈N(AT)α∈N(AT)，则αTA=0αTA=0。

因此α和Aα和A的全部列向量垂直。可以得到N(AT)⊥C(A)N(AT)⊥C(A)。

将AA 换成ATAT，可以得到C(AT)⊥N(A)C(AT)⊥N(A)。

四个子空间还存在着如下的关系：

N(AT)+C(A)=Rm，C(A)+N(AT)=RnN(AT)+C(A)=Rm，C(A)+N(AT)=Rn

我们说C(A)是N(AT)C(A)是N(AT)在RmRm上的正交补，C(AT)C(AT)是N(A)N(A)在RnRn上的正交补。

定义：设V⊂RnV⊂Rn是一个子空间，VV在RnRn中的正交补定义为集合

{w∈Rn|vTw=0,∀v∈V}{w∈Rn|vTw=0,∀v∈V}

子空间的性质

若AA对称，即A=ATA=AT，则C(A)=C(AT)C(A)=C(AT)，因此C(A)⊥N(A)C(A)⊥N(A)。

ATAATA为对称阵，且N(A)=N(ATA)，C(AT)=C(ATA)N(A)=N(ATA)，C(AT)=C(ATA)。

Ax=0⇒ATAx=0⇒N(A)⊆N(ATA)Ax=0⇒ATAx=0⇒N(A)⊆N(ATA)

ATAx=0⇒xTATAx=0⇒Ax=0⇒N(ATA)⊆N(A)ATAx=0⇒xTATAx=0⇒Ax=0⇒N(ATA)⊆N(A)

⇒N(A)=N(ATA)⇒N(A)=N(ATA)

若Ax=bAx=b有解，则Ax=bAx=b在C(AT)C(AT)中有唯一解。

存在性：设Ax=bAx=b有解，则b∈C(A)b∈C(A)。又因为C(A)=C(AAT)C(A)=C(AAT)，因此b∈C(AAT)b∈C(AAT)

∴∃y∈Rm⇒AATy=b∴∃y∈Rm⇒AATy=b

letxr=ATy⇒Axr=b∴xr∈C(AT)letxr=ATy⇒Axr=b∴xr∈C(AT)

唯一性（反证法）：若x1r，x2r∈C(AT)，and Ax1r=b=Ax2rxr1，xr2∈C(AT)，and Axr1=b=Axr2

∴A(x1r−x2r)=0⇒x1r−x2r∈N(A)∴A(xr1−xr2)=0⇒xr1−xr2∈N(A)

∵x1r，x2r∈C(AT)∴x1r，x2r∈C(AT)∩N(A)={0}∵xr1，xr2∈C(AT)∴xr1，xr2∈C(AT)∩N(A)={0}

∴x1r=x2r∴xr1=xr2

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