[NOIP2017模拟]路径统计

2017.11.9 T2 2049

题目描述

一个 n 个点 m 条边的无重边无自环的无向图，点有点权，边有边权，定义一条路径的权值为路径经过的点权的最大值乘边权最大值。

求任意两点间的权值最小的路径的权值。

输入格式

第一行两个整数 n ，m ，分别表示无向图的点数和边数。

第二行 n 个正整数，第 i 个正整数表示点i的点权。

接下来 m 行每行三个正整数 ui，vi，wi ，分别描述一条边的两个端点和边权。

输出格式

输出 n 行，每行 n 个整数。

第 i 行第 j 个整数表示从 i 到 j 的路径的最小权值；如果从 i 不能到达 j ，则该值为 -1 。特别地，当 i=j 时输出 0 。

样例数据

输入

3 3

2 3 3

1 2 2

2 3
4000
3

1 3 1

输出

0 6 3

6 0 6

3 6 0

备注

【数据范围与约定】

对于 20% 的数据：n≤5；m≤8。

对于 50% 的数据：n≤50。

对于 100% 的数据：n≤500；m≤n*(n-1)/2，边权和点权不超过109。

分析：考试的时候刚开始想到并查集，开始打了才发现中间步骤实现不了……灰心丧气地去打大暴搜了。正解竟然是floyd？！这可是O(N3)的呀？？？结果就是能过，神奇（虽然我之前想的并查集也要O(N3)）。

先按点权排序，floyd最外层k表示路径上最大点权为a[k]，i、j就是枚举任意两点，正常更新边的最小值，如果两个点的点权都小于a[k]，看能不能更新最短路，跑一遍，复杂度O(N3)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;

int getint()
{
int sum=0,f=1;
char ch;
for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-')
{
f=-1;
ch=getchar();
}
for(;isdigit(ch);ch=getchar())
sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48;
return sum*f;
}

const int N=505,inf=2e9;
const long long INF=2e18;
int n,m;
struct node
{
int w,id;
inline friend bool operator <(const node &a,const node &b)
{
return a.w<b.w;
}
}a
;
int bian

;
long long dis

;

int main()
{
freopen("path.in","r",stdin);
freopen("path.out","w",stdout);

int x,y,z;
n=getint(),m=getint();
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=INF,bian[i][j]=inf;//赋初值，极大值

for(int i=1;i<=n;++i)
dis[i][i]=bian[i][i]=0,a[i].w=getint(),a[i].id=i;

for(int i=1;i<=m;++i)
{
x=getint(),y=getint(),z=getint();
bian[x][y]=bian[y][x]=z;//读到边的值
}

sort(a+1,a+n+1);//按点权排序

for(int k=1;k<=n;++k)//点权最大为a[k]
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
{
x=a[i].id,y=a[j].id,z=a[k].id;
bian[x][y]=min(bian[x][y],max(bian[x][z],bian[z][y]));//边权正常更新，是正常floyd应该进行的步骤
if(i<=k&&j<=k)
dis[x][y]=min(dis[x][y],1ll*a[k].w*bian[x][y]);//只有i和j的点权都不大于k的时候才能更新dis
}

for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
if(dis[i][j]!=INF)
cout<<dis[i][j]<<" ";
else
cout<<-1<<" ";
cout<<'\n';
}
return 0;
}

本题结。