【基本算术定理 && 质因数分解】LightOJ - 1341 Aladdin and the Flying Carpet

Problem Description

a面积，b为其中一条边最小长度，问你能组成不同矩形不包含正方形的个数。

思路：

算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1*P2^a2*P3^a3……Pn^an，这里P1小于P2小于P3……小于Pn均为质数，其中指数ai是正整数。

定理应用：

(1) 一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：N = P1^a1*P2^a2*P3^a3……Pn^an，那么它的正因数个数为：σ(n) = (1 + a1)*(1 + a2)…(1 + an)。

(2) 它的全体正因数之和为：σ(n) = (1+p1+p1^2+…+p1^a1)*(1+p2+p2^2+…+p2^a2)…(1+pn+pn^2+…+pn^an)。

(3) 利用算数基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子(a, b) 和 最小公倍数[a, b]， 并证明a*b = (a, b)*[a, b]。

(4) 此外还可证明根号2是无理数等等。

(5) 证明素数个数无限。

正因数之和也可以写作：

σ(n) = (p1^(a1+1) - 1) / (p1 - 1) * (p2^(a2+1) - 1) / (p2 - 1) * … * (pk^(ak + 1) - 1) / (pk - 1)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000055//素数表到根号最大值，如果大于表的值是素数，特判一下就可以了
int vis
, n, prime
;//vis[i]为0代表i是素数，prime[]用来存素数，n是素数的个数
void get_prime()//打素数表
{
int i, j;
n = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
vis[1] = vis[0] = 1;
for(i = 2; i <= N - 55; i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[n++] = i;
for(j = 2*i; j <= N - 55; j = j + i)
vis[j] = 1;
}
}
}
int factor(long long num)//质因数分解
{
int ans = 1, sum;
for(int i = 0; (long long)prime[i]*prime[i] <= num && i < n; i++)
{
sum = 0;
while(num % prime[i] == 0) {
sum++;
num /= prime[i];
}
ans *= (1+sum);//因数的个数为分解成的素数的指数+1的乘积
}
if(num != 1) ans *= 2;//如果num是一个大于素数表最大值得素数
return ans / 2;
}
int main()
{
int T, cas = 1;
scanf("%d", &T);
get_prime();
while(T--)
{
long long a, b;
scanf("%lld %lld", &a, &b);
long long m = sqrt(a);
if(m * m > a) m--;
if(b > m) {//输出0，因为b*b>a
printf("Case %d: 0\n", cas++);
}
else
{
int ans = factor(a);//求a的质因数有几对
for(int i = 1; i < b; i++)
{
if(a % i == 0) ans--;
}
printf("Case %d: %d\n", cas++, ans);
}
}
return 0;
}