[NOIp 2009]Hankson的趣味题

Description

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

Input

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

Output

共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

Sample Input

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

Sample Output

6
2

HINT

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

题解（转载）

->原文地址<-

这题可以从$b_0$和$b_1$下手，考虑$b_0$和$b_1$的质因子，如果$b_1$的某个质因子和$b_0$的某个质因子的出现次数相同，那么$x$就可以取任意个(不超过$b_1$)该质因子。

如果$b_0$的质因子和$b_1$的质因子出现的不相同，那么x含有该因子的次数就确定了，可以直接乘起来。

最后我们把不确定的质因子$dfs$枚举出现次数，然后暴力判断$gcd(x, a_0) = a_1$即可。

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#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;
const int N = 5e4;

int prime[N+5], top;
bool isprime[N+5];
int a, b, c, d;
int qa[N+5], qt[N+5];
int ans, pos;

void prepare() {
memset(isprime, 1, sizeof(isprime));
isprime[1] = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
if (isprime[i]) prime[++top] = i;
for (int j = 1; j <= top && prime[j]*i <= N; j++) {
isprime[prime[j]*i] = 0;
if (!(i%prime[j])) break;
}
}
}
int quick_pow(int a, int b) {
int sum = 1;
while (b) {
if (b&1) sum *= a;
a *= a;
b >>= 1;
}
return sum;
}
int gcd(int a, int b) {
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
bool judge(int p, int lo) {
int t = c, cnt = 0;
while (t%p == 0) t /= p, cnt++;
return cnt != lo;
}
void dfs(int cen, int sum) {
if (cen == pos+1) {
if (gcd(sum, a) == b) ans++;
return;
}
dfs(cen+1, sum);
for (int i = 1; i <= qt[cen]; i++)
dfs(cen+1, sum *= qa[cen]);
}
void work() {
scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
int t = d, sum = 1; pos = 0; ans = 0;
for (int i = 1; i <= top && prime[i] <= t; i++) {
int cnt = 0;
while (t%prime[i] == 0) t/=prime[i], cnt++;
if (judge(prime[i], cnt)) sum *= quick_pow(prime[i], cnt);
else qa[++pos] = prime[i], qt[pos] = cnt;
}
if (t != 1) {
if (judge(t, 1)) sum *= t;
else qa[++pos] = t, qt[pos] = 1;
}
dfs(1, sum);
printf("%d\n", ans);
}
int main() {
int t; scanf("%d", &t);
prepare();
while (t--) work();
return 0;
}