【Noip2009】hankson的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现

在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现

在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公

倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整

数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的

x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮

助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每

行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入

数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式：

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1：

2

41 1 96 288

95 1 37 1776

输出样例#1：

6

2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

第一次自己证明出数论类问题…鸡冻>w<，虽然效率爆炸…不过..不过，就是鸡冻辣！！！

【思路】

∵gcd(a,b)∗lcm(a,b)=a∗b

由题意得：lcm(x,b0)=b1

∴x∗b0=b1∗gcd(x,b0)

x=b1b0∗gcd(x,b0)

不妨设gcd(x,b0)=m

则有{x=b1b0∗m①gcd(x,b0)=m②

由②：xm与b0m互质

结合①有：b1b0与b0m互质

考虑到：b0m=b1x

∴b1b0与b1x互质

∴gcd(b1b0,b1x)=1Δ

此时考虑第一个条件gcd(x,a0)=a1

易证gcd(a0a1,xa1)=1Δ

上述两个标了三角形的条件即是我们的结论

为了考虑枚举时的剪枝，可以结合整除性

∵lcm(x,b0)=b1

∴x|b1

∵gcd(x,a0)=a1

∴a1|a0且a1|x

所以只要考虑即是b1的因数又是a1的倍数的x即可

同时还有一个小技巧，我们可以只去枚举1至b1−−√的i，同时考虑b1/i就能缩小枚举范围

hhhhhhhhhhhhh

—————————————我是萌萌的分割线————————————–

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int a0,a1,b0,b1,x,Ans,T;

int gcd(int x,int y){while(x^=y^=x^=y%=x);return y;}

int main(){
scanf("%d",&T);

while( T-- ){
scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
Ans=0;

for(int i=1;i*i<=b1;i++){
if((b1%i == 0) && (i%a1 == 0) && (gcd((b1/b0),(b1/i)) == 1) && (gcd((a0/a1),(i/a1)) == 1))
Ans++;

if((b1/i!=i) && (b1%i==0) && ((b1/i)%a1 == 0) && (gcd((b1/b0),i) == 1) && (gcd((a0/a1),((b1/i)/a1)) == 1))
Ans++;
}

printf("%d\n",Ans);
}

return 0;
}