51Nod-1079-中国剩余定理

51Nod-1079-中国剩余定理

1079 中国剩余定理

一个正整数K，给出K Mod 一些质数的结果，求符合条件的最小的K。
例如，K % 2 = 1, K % 3 = 2, K % 5 = 3。符合条件的最小的K = 23。

Input
第1行：1个数N表示后面输入的质数及模的数量。（2 <= N <= 10)
第2 - N + 1行，每行2个数P和M，中间用空格分隔，P是质数，M是K % P的结果。（2 <= P <= 100, 0 <= K < P)

Output
输出符合条件的最小的K。数据中所有K均小于10^9。

Input示例
3
2 1
3 2
5 3
Output示例
23

解题方法

记住模的数学表达式：



中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：



求解步骤：

第一步：求出每个Mi





第二步：求出Mi模mi的数论倒数ti



第三步：求出方程组的解：



该定理的细节可以看维基百科上给出的证明——中国剩余定理

维基需要翻墙，可以去看看百度给出的证明——中国剩余定理

解题代码

while True:
try:
n, cnt= int(input()), 1
A = []

#cnt为全部质数的乘积
for i in range(n):
a, b = list(map(int, input().split()))
A.append((a,b))
cnt = cnt * a

ans = M = t = 0
for (i, a) in A:
M = cnt/i
#求M的数论倒数t
for k in range(i):
if (M*k)%i == 1:
t = k
break
ans += a*t*M

#方程组的解ans
ans = int(ans%cnt)
print(ans)

except EOFError:
break