矩阵分析与应用(四)——逆矩阵、广义逆矩阵和Moore-Penrose逆矩阵
2017-08-07 17:02
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逆矩阵
逆矩阵的定义:如果对于一个方阵A,存在一个方阵B,使得AB=BA=I,那么我们称B为A的逆矩阵,记做:A−1=B=1|A|A∗,这里A∗代表伴随矩阵。一个n∗n的方阵存在逆矩阵的充要条件等价于:
A为非奇异矩阵
rank(A)=n
A的行向量线性无关
A的列向量线性无关
det(A)≠0,即行列式不为0
Ax=0只有唯一平凡解x=0
Ax=b为一致方程,且有唯一解
A的零空间的维度为0
如果对于方程Ax=b,当其中的某些线性约束成立的情况下,其他的线性约束不可能成立,则称该方程为非一致方程。
矩阵的零空间是指线性方程组Ax=0的解向量张成的空间的。
一些基本的性质这里不赘述,值得一提的是两个矩阵之和的求逆运算,它不同于转置等运算((A+B)T=AT+BT)。
Sherman-Morrison公式:
(A+xyT)−1=A−1+A−1xyHA−11+yHA−1x 这个公式还有很多形式的变体。分块矩阵的求逆公式:
当A可逆时,[AVUD]−1=[A−1+A−1U(D−VA−1U)−1VA−1)−(D−VA−1U)−1VA−1−A−1U(D−VA−1U)−1(D−VA−1U)−1]−1当A,D可逆时,[AVUD]−1化简为:[(A−UD−1V)−1−D−1V(A−UD−1V)−1−A−1U(D−VA−1U)−1(D−VA−1U)−1]−1广义逆矩阵
我们看到,逆矩阵的定义仅仅针对方阵而言,但是实际应用中,我们遇到的很多问题并不满足这个条件,将矩阵的逆的定义扩展到任意矩阵,得到我们的广义逆矩阵:如果一个矩阵L满足LA=I,A∈Rm∗n,则我们称L为A的广义逆矩阵,特别地,对于LA=I,我们称为左逆矩阵,只有当m≥n时,A才可能有左逆矩阵;对于AL=I,我们称为右逆矩阵,只有当m≤n时,A才可能有右逆矩阵。
证明如下,考虑m≥n:
A=[BC],其中B∈Rn∗n,令L=[X,Y]满足LA=I,我们有XB+YC=I,如B非奇异(这是可能的),只需要令X=B−1,Y=O即可
一个矩阵的广义逆矩阵往往不是唯一的,特别地,有以下形式的广义逆矩阵:
左逆:L=(AHA)−1AH唯一,且称为左伪逆矩阵右逆:L=AH(AAH)−1唯一,且称为右伪逆矩阵
是不是很眼熟?对了,这就是和最小二乘密切相关的两个广义逆矩阵!,左逆对应于超定问题(非一致方程)的最小二乘解,右逆对应于欠定问题(一致方程)的最小范数解。
现在,我们将左逆和右逆统一起来,用线性方程组的解的形式来描述:
对于A∈Rm∗n,秩任意,则A的广义逆矩阵是一个n∗m矩阵G并使得当Ax=y(y≠0)为一致方程时,有解x=Gy,当且仅当G满足AGA=A
最后一个等式也是广义逆的定义式:A−存在↔AA−A=A
定理:
A−存在↔A−A和AA−皆为幂等矩阵,即(AA−)2=AA−,(A−A)2=A−A
A−存在↔rank(A)=rank(AA−)或rank(A)=rank(A−A)
广义逆矩阵的计算
定理:对于任意的秩为r的矩阵A,都可以分解为:A=Fm∗rGr∗n,F和G分别为列满秩和行满秩
称为矩阵的满秩分解,求解步骤如下
将A通过行初等变换化为阶梯矩阵,得到A=[GO]
对单位矩阵执行上述变换的逆变换,得到I→P−1
A=FG,其中F为P−1前r列组成的子矩阵
则A的广义逆矩阵可以用以下公式求解:
A−=GT(FTAGT)−1FT
容易验证,它满足广义逆矩阵的定义式AA−A=A
且F和G分别为列满秩和行满秩,所以(FTAGT)−1=(FTFGGT)−1=(FTF)−1(GGT)−1一定存在。
回过头来,我们看看用广义逆矩阵来定义线性方程的解会有什么结论:
定理1:齐次方程Ax=0的一个通解为x=(I−A−A)z,其中z为任意的n*1向量。
定理2:非齐次方程Ax=y为一致方程的充要条件为:AA−y=y。
定理3:非齐次方程Ax=y的一个通解为x=A−y+(I−A−A)z,其中z为任意的n*1向量。
上述三个定理可以通过直接验证广义逆矩阵的定义式得证。
Moore-Penrose逆矩阵
由前面定义的逆矩阵求解超定问题(非一致方程)的最小二乘解和欠定问题(一致方程)的最小范数解时,解是不唯一的。因此将广义逆矩阵做进一步的约束,便得到Moore-Penrose逆矩阵(平时说的伪逆就是它),它能保证解的唯一性。定义满足下列性质的矩阵G为矩阵A的Moore-Penrose逆矩阵,记做A+:
AGA=A
GAG=G
(AG)H=AG
(GA)H=GA
Moore-Penrose逆矩阵是由Moore在1935年提出的,由于原始定义十分晦涩,于是Penrose于1955年提出了上述的四个条件,因此名为Moore-Penrose逆矩阵。
Moore-Penrose逆矩阵又根据满足上述条件的个数,分为以下几种:
①只满足条件1,2,称为自反广义逆矩阵
②只满足条件1,2,3,称为正则化广义逆矩阵
③只满足条件1,2,4,称为弱广义逆矩阵
注意,对于只满足某些条件的逆矩阵,它的秩总是大于等于原矩阵的秩。即:
rank(Ag)≥rank(A)=rank(AAg)=rank(AgA),当Ag为自反逆矩阵时取等。
我们前面提到的左伪逆矩阵和右伪逆矩阵都是Moore-Penrose矩阵,满足四个条件。
Moore-Penrose逆矩阵的计算
1.方程求解法:2.KL分解法:
即通过矩阵的满秩分解求解,求解方式同上述的广义逆矩阵,只不过将转置运算换成共轭转置,容易验证,该法求解得到的结果满足上述四个条件。
PS:当使用Moore-Penrose逆矩阵求解超定问题(非一致方程)的最小二乘解时,不仅解唯一,且是最小二乘最小范数解
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