学习矩阵分析与应用过程中的点滴记录（一）

修矩阵分析与应用这门课已经一月，但却一直没怎么好好上课，ucas老师们的课件都是英文版的，看不懂啊（英语是最大的硬伤）。于是只能找些资料自学下，现将在学习过程中的一些问题和理解写在这里，帮助自己更好地理解这门课程，也方便以后复习。

不得不说，数学是一门最重要的基础学科，记得有位老师曾说过，你对数学理解的程度极大程度上决定了你在科研道路上的成就。因此各路英豪没事还是好好学习数学吧，尤其是本科狗们，你们的高等数学，线性代数，概率论与数理统计，复变函数与积分变换等等真的是妙用无穷啊（烟酒僧的赠言，当初真是太naive啊）。废话不说多了。

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教材用的是老师的课件，虽然看不懂还是硬啃了下（我会告诉你是因为老师说考试内容不会超过课件所述么，naive啊）。老师上来就讲的线性方程组，着重讲了Gaussian elimination的应用，和这种方法的变异 Gauss-Jordan method，这里没什么难度，不懂的同学可以参考/article/5977896.html当初修线性代数的时候已经用的很熟悉，就是对矩阵A进行初等行变换最终化为上另一个矩阵来求解线性方程组。不过与本科不同的是老师讲了下病态系统，这个东西本科没接触过，这里可以分享下。

直接上老师课件上的定义：着重看下阴影部分，大意是如果一个线性方程组在很小的扰动下会产生一个与原来解相差很大的新解，则这个系统为病态系统，系统灵敏度太高，这在工程上是要极力避免的。



下面着重讲下 Partial pivoting方法：



看不了英文的可以看下我渣渣的译文；大意如下：
在进行Partial pivoting时，我们以这样的方式确定每一列的主元：选取该列主元位置和位于主元位置下方的元素的最大值，通过行交换将最大值放在主元位置上，记住只比较主元位置和主元位置下的元素（如果比较这一列的所有元素的话，则需要通过行列交换把最大值放在主元位置上，这种称为完全主元法，有点需要注意的是，当列交换后，未知数的位置也会变化，所以个人感觉一般不用列交换。）。确定该列主元后，后续步骤与高斯消去相同。这种方法的优点在带精度的计算机对线性方程组的求解过程中，使用这一方法得到的解可以更加接近精确解。可以通过下面例子说明：




可以看到，计算机在带精度的浮点计算中，不使用partial pivoting方法的解是x=0，y=1，使用partial pivoting得到的解是x=1，y=1，而精确解是x=1，y=1。