矩阵分析与应用(一)——集合的基本运算和内积空间
2017-07-27 19:35
225 查看
矩阵相关
幂等矩阵:对于方阵A,如果A2=A,则称为幂等矩阵对合矩阵:对于方阵A,如果A2=I,则称为对合矩阵
非奇异矩阵:一个方阵A是非奇异的,当且仅当Ax=0只有零解,即A的n个列向量线性无关。
行等价矩阵:经过行初等变换的矩阵与原矩阵是行等价矩阵。
简约阶梯型矩阵:如果一个阶梯矩阵每个非零行的首项元素为1(首一元素),则称为简介阶梯型
集合的基本运算
A∪B={x∈X:x∈A or x∈B}A∩B={x∈X:x∈A and x∈B}A+B={z=x+y∈Z:x∈A , x∈B}X=A−B={x∈X:x∈A and x∉B}集合A在X中的补集:Ac=X−A={x∈X:x∉A}
笛卡尔积:若X和Y为集合,且x∈X,y∈Y,则所有的有序数对(x,y)的集合记为X×Y,称为集合的笛卡尔积:
X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}
向量空间
以向量为元素的集合V称为向量空间,它满足加法和标量乘法的闭合性,即:∀x∈V,y∈V→x+y∈V∀a∈R,y∈V→ay∈V
实内积空间
实内积空间是满足下列条件的实向量空间E:正定性:∀x∈E,and x≠0,⟨x,x⟩>0对称性:∀x,y∈E,⟨x,y⟩=⟨y,x⟩⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩,∀x,y,z∈E⟨αx,y⟩=α⟨x,y⟩∀x,y∈E,α∈R如果在一个n阶实内积空间Rn定义典范内积(cannonical inner product)为:
⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi
则称Rn为n阶Euclidean空间。
范数
若Rn为一个实内积空间,且x∈En,则x的范数(或“长度”)记为∥x∥,定义为:∥x∥=⟨x,x⟩1/2
长度为1的向量称为单位向量。
向量x,y之间的距离定义为:
d=∥x−y∥=⟨x−y,x−y⟩1/2
特别地,对于Euclidean n空间,向量范数取:
∥x∥2=a21+a22+...+a2n−−−−−−−−−−−−−√
在实内积空间中,范数具有以下性质:
1.只有0向量的范数为0,否则大于0。
2.∀x∈Rn,c∈R,∥cx∥=|c|∥x∥
3.服从极化恒等式(polarization identity):
⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2) 4.满足平行四边形法则(parallelogram law):
∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2 5.服从Cauchy-Schwartz不等式:
|⟨x,y⟩|≤∥x∥∥y∥,当且仅当y=cx时,等号成立,c∈R≠0 5.满足三角不等式:∥x+y∥≤∥x∥∥y∥
复内积空间
即同样满足上述定理的复向量空间Cn构成复内积空间,有些在表达形式上有所不同:正定性:∀x∈E,and x≠0,⟨x,x⟩>0共轭对称性(Heimitian性):∀x,y∈E,⟨x,y⟩∗=⟨y,x⟩⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩,∀x,y,z∈E⟨αx,y⟩=α∗⟨x,y⟩∀x,y∈E,α∈C范数
在复内积空间中,范数具有以下性质:1.只有0向量的范数为0,否则大于0。
2.∀x∈Rn,c∈C,∥cx∥=|c|∥x∥,|c|表示复数c的模
3.服从极化恒等式(polarization identity):
⟨x,y⟩=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2−j∥x+jy∥2+j∥x−jy∥2) 4.满足平行四边形法则(parallelogram law):
∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2 5.服从Cauchy-Schwartz不等式:
|⟨x,y⟩|≤∥x∥∥y∥,当且仅当y=cx时,等号成立,c∈C 5.满足三角不等式:∥x+y∥≤∥x∥∥y∥
相关文章推荐
- 经典数据结构之矩阵的基本运算
- Java_Map集合的基本应用
- 黑马程序员--浅谈Map集合的特点和基本方法的应用
- 并发集合在分析之CurrentHashMap之从应用去分析,分段加锁应用
- 稀疏矩阵的基本运算
- 数据分析之Pandas(二):索引、过滤 、算术运算、 函数应用和映射
- 矩阵基本运算
- Matlab矩阵基本操作(定义,运算)
- 数据结构笔记(一)线性表的顺序表示和基本操作及其顺序表实现的集合运算(A-B)U(B-A)实例
- MATLAB矩阵的基本运算及操作
- 我的php学习笔记(二)php基本数据类型、基本语法和基本运算类型及其应用
- 并发集合在分析之CurrentHashMap之从应用去分析,分段加锁应用
- 【H.264/AVC视频编解码技术详解】十四、H.264的变换编码(一)——矩阵运算与正交变换基本概念
- NumPy学习笔记(2)--Array数组和矩阵基本运算
- 集合的基本运算: 依据集合运算规则,实现任意给定两个集合的交、并、差、笛卡儿积运算,和第一个集合的幂集,并显示运算结果。
- 线性代数矩阵论——矩阵的基本运算——加、减、取负、乘、数乘、转置
- 第二章模糊集合及其基本运算+第三章模糊集合的其他运算
- IML 编程的基本函数(矩阵运算,数据管理)
- x264源码分析与应用示例(一)——视频编码基本流程
- (数组应用四:数值矩阵的运算4.4.1)POJ 2260 Error Correction(奇偶均匀特性)