矩阵分析与应用（1） Linear Equation

矩阵分析的系列笔记，主要来源此书：

Matrix Analysis and Applied Linear Algebra by CD Meyer

下载地址：

  

  

矩阵分析与应用（1） Linear Equation

  
本章线性方程组主要讲解求解线性方程组的方法，主要有两种方法：Gaussian Elimination和Gauss-Jordan

其中他们的算法复杂度分别为：

Methods\Operation	Multiplications/divisions	Additions/subtractions
Gaussian Elimination
Gauss-Jordan

其算法都非常的简单

Gaussian Elimination：向下向右依次消去主元位置的元素

Gauss-Jordan：在高斯消去法基础上使得主元的位置为1

下面重点说一下Conditioned System

Let's from an example as follow:





如果我们自己算，可以非常容易计算出来答案是：



  

如果我们以3-digit arithmetic来进行计算得到的解是：



so, we can get the solution：



这个就称之为病态系统，不过可以使用部分主元法克服这个问题，即在向下向右消去的过程中，把同一列绝对值最大的那一个方程式放到最上面



这时候求来的值就更接近于真实的值了

  

那么为什么部分主元法make a difference呢？

因为使用部分主元法使得绝对值较大的因子弱化了较小因子发挥的作用，所以就相对准确一点。