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矩阵分析与应用(三)——基与Gram-Schmidt正交化

2017-08-03 11:53 302 查看
  n维Euclidean空间只有一个,但是n维向量空间却有无穷多个,如x={0,0,α,β,γ}和y={1,5,α,β,γ}就是两个完全不同的5维向量空间,虽然他们都在5阶Euclidean空间内。

  我们知道,n维空间的多个向量的线性组合也属于n维空间(根据向量空间加法运算的闭合性)。因此,我们引出:

  由n维向量x1,x2,...,xm所有的线性组合的集合W称为由x1,x2,...,xm张成的子空间。x1,x2,...,xm称为W的张成集。

  可以看到,任意一个空间W的张成集都不是唯一的,这些集合称为平凡张成集,对平凡张成集进行分析显然是没有意义的,为此我们需要寻找一种张成集, 该集合中包括张成空间W所需的最小个数的向量,也即空间的基:

  生成子空间W的线性无关的向量集合称为W的基。

  子空间的基也不是唯一的,但是它们包含的向量个数时相同的,等于子空间的维度。

对偶基


如果α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βm是两组不同的基,并且αHiβi=0,则称其中一组基是另外一组的对偶基。

正交基


如果一个基的所有向量之间相互正交,则称其为正交基。

标准正交基


如果一个正交基的每个向量的范数均为1,则成为标准正交基。

  在很多时候,我们需要对某个空间的标准正交基进行分析变换,这就要涉及到基的正交化,其中最常用的便是Gram-Schmidt正交化。

Gram-Schmidt正交化

  令x1,x2,...,xm时子空间W的任何一组基,则通过以下变换生成的μ1,μ2,...,μm为一组标准正交基:

p1=x1,μ1=p1∥p1∥pk=xk−∑ik−1(μHkxk)μi,μk=pk∥pk∥

  可以使用数学归纳法证明,经过上述过程生成的基是标准正交基。

  Gram-Schmidt正交化的主要缺点是,在某些情况下,数值性能不是很好,为此修正的Gram-Schmidt正交化法能很好地解决这个问题:

μ1=x1∥x1∥对所有的向量进行第一次修正x(1)i=xi−μH1xiμ1构造第二个向量μ2=x2∥x2∥对所有的向量进行第二次修正x(2)i=x(1)i−μH2x(1)iμ2,依次类推
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标签:  基及其正交化