[中国剩余定理]Hdu 1573——X问题

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这道题给出了多个同余方程，所以马上联想到中国剩余定理。

中国剩余定理

求解同余方程组的算法。

设m1,m2，…,mr两两互质,N=m1*m2*…*mr。

考虑方程组的特殊解：

X≡0(mod m1)

…

X≡1(mod mi)

…

X≡0(mod mr)

由于所有mi互质，所以x=(N/mi)*y等价于(N/mi)y≡1 (mod mi),这个方程显然可以用扩欧做。假设我们得出解xi，那么X=b1x1+b2x2+…+brxr(modN) 。

这道题给出的mi不互质，所以要用奇怪的方法解，详见代码。

#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=15;
int a[maxn],m[maxn],N,M,T;
LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if (!b){
x=1;y=0;
return a;
}
LL d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
LL t=x; i'm sb.
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
void China(){
LL x,y,a1=a[1],a2,m1=m[1],m2;
for (int i=1;i<=M;i++){
a2=a[i];m2=m[i];
LL d=ex_gcd(m1,m2,x,y);
if ((a2-a1)%d!=0){printf("0\n");return;}
LL t=x*((a2-a1)/d);
t=(t%m2+m2)%m2;
a1=a1+m1*t;m1=m1/d*m2;a1=(a1%m1+m1)%m1;
}
LL ans=(N-a1)/m1+1;
if (N<a1) ans=0;if (!a1) ans--;
printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
freopen("exam.in","r",stdin);
freopen("exam.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d%d",&N,&M);
for (int i=1;i<=M;i++) scanf("%d",&m[i]);
for (int i=1;i<=M;i++) scanf("%d",&a[i]);
China();
}
return 0;
}