hdu_1573 X问题(不互素的中国剩余定理)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

X问题

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[align=left]Problem Description[/align]
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

[align=left]Input[/align]
输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

[align=left]Output[/align]
对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

[align=left]Sample Input[/align]

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

[align=left]Sample Output[/align]

1
0
3

[align=left]Author[/align]
lwg

[align=left]Source[/align]
HDU 2007-1 Programming Contest

题解：

这个题直接给出了中国剩余定理的形式：X===a[i](mod b[i])但是这里注意一下这个b[i]之间有可能不是互素的，所以这里给出一个不互素的中国剩余定理的求解方式

考虑两个方程

x===a1(mod b1)

x===a2(mod b2)

可得：x = a1+b1*r1;

　　　x = a2+b2*r2;

有 a1+b1*r1 = a2+b2*r2;

有b1*r1-b2*r2 = a2-a1

这样可以通过扩展欧几里得解的r1，这里注意一下(a2-a1)%gcd(b1,b2)==0时候有解

解出r1后则x0 = a1+b1*r1位这个方程组的一个解

则这两个方程可以写成是x===x0(mod b1*b2/gcd(b1,b2))的形式

然后依次处理没两个式子，最后得到的就是解

注意这里每次求得的解都要保证是最小的解的形式，所以可以通过用(x%mod+mod)%mod 的形式来控制

最后统计次数的时候从最小的时候循环到n即可统计出个数

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[15],b[15];
ll exgcd(ll a, ll b, int &x, int &y)
{
if(b==0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll ans = exgcd(b,a%b,x,y);
int tx = x;
x = y;
y = tx-(a/b)*y;
return ans;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
ll n,m;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i = 0; i < m; i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
for(int i = 0; i < m; i++){
scanf("%lld",&b[i]);
}
bool fl = 0;
for(int i = 1; i < m; i++){
//更新a[i]和b[i];
int x, y;
ll d = exgcd(a[i-1],a[i],x,y);
if((b[i]-b[i-1])%d){
fl = true;
break;
}
ll t = a[i]/d;
x = x*(b[i]-b[i-1])/d;
x = (x%t+t)%t;
ll N = a[i-1]*x+b[i-1];
b[i] = N;
a[i] = a[i]*a[i-1]/d;
b[i] = (b[i]%a[i]+a[i])%a[i];
}
if(fl||n<b[m-1]) printf("0\n");
else printf("%d\n",(n-b[m-1])/a[m-1]+1-(b[m-1]==0?1:0));//因为要求是正整数，所以0不可以取
}
return 0;
}