欧拉筛——线性筛素数和欧拉函数

欧拉筛（线性筛）

ps：以下内容来自一个蒟蒻，如果有错误请各位大佬指出。

先来看下我以前用的埃氏筛法

for (int i=2;i<=n;i++)
if (!vis[i]){
for (int j=i+i;j<=n;j+=i) vis[j]=1;
p[++p[0]]=i;
}

这种写法显然会将一个数挖去多次，效率显然不是线性的，有dalao指出是O(nlog2n),然而证不来QAQ。

下面来看下线性筛。

void get_phi(){
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++){
if (!vis[i]){p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}
for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
vis[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
else{phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
}
}
}

首先看关于p[]的部分。

这个算法之所以能达到线性，就是因为它能做到每个数只筛一遍。

对于i，如果它是质数，那么用i筛的数前面肯定都没有筛过。

如果它是合数，把它转换为i=p1a1∗p2a2∗p3a3...pkak（其中p1到pk递增），我们主要关注的就是使i∗p[j]只筛一遍，我想说如果p[j]大于p1都可以不筛，因为必然存在i∗p[j]/p1用p1筛。

这样可以证明筛素数的部分是线性的。

再看关于phi[]的部分

既然每个数只能筛一遍，那么我们必须用phi[i]推导出phi[i∗p[j]]。

首先素数的phi就是自身减一。

如果p[j]不是i的质因子，那么显然有phi[i∗p[j]]=phi[p[j]]∗phi[i]

如果p[j]是i的质因子，显然有i=p[j]x∗Y,并且p[j]x和Y互质，那么就有phi[i]=phi[p[j]x]∗phi[Y],因为phi[p[j]x]=p[j]x∗(1−1p[j]),所以

phi[i]=p[j]x∗(1−1p[j])∗phi[Y]

phi[i∗p[j]]=p[j]x+1∗(1−1p[j])∗phi[Y]=p[j]∗phi[i]

在来看一道练手题——poj 2478

题目要求：求phi[]的前缀和。

解题思路：直接上欧拉筛。

#include<cstdio>
const int maxn=1000005,n=1000000;
int phi[maxn],p[maxn],x;
long long sum[maxn];
bool vis[maxn];
void get_phi(){
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++){
if (!vis[i]){p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}
for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
vis[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
else{phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
}
}
}
int main(){
freopen("exam.in","r",stdin);
freopen("exam.out","w",stdout);
get_phi();
for (int i=2;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
while(1){
scanf("%d",&x);
if (!x) return 0;
printf("%lld\n",sum[x]);
}
}