HDU 1573 X问题 （中国剩余定理 模线性方程组）

思路：

方法1：

问题可以转化为求模线性方程组。

设要求得的满足方程组的最小正整数为n；

n=b1(moda1)

n=b2(moda2)

可以得到： n=b1+x∗a1=b2+y∗a2

变形之后：

x∗a1−y∗a2=b2−b1(1)

对式（1），我们可以看作 x∗a1=b2−b1(moda2)

对于这个式子，我们可以用扩展欧几里得算法求得x的最小整数解。所以最小正整数为 n0=b1+a1∗x

我们求解出来的n0加上k倍的a2绝对满足题意，但是却有可能少解，原因就是（1）式左右两边说不定可以约分，这样的话作为周期的 a2 就不对了。所以要这样解决：

n=n0+k∗a2/gcd(a1,a2)(k为任意整数)(moda1∗a2/gcd(a1,a2))

以上，我们就完成了对两个模线性方程的合并，接下来只要逐一进行合并，到最后只剩一个模线性方程时，就能很轻易地求解了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long int lli;

using namespace std;

int a[12];
int b[12];

lli egcd(lli a,lli b,lli &x,lli &y){
if(b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
lli ans = egcd(b,a%b,x,y);
lli temp = x;
x = y;
y = temp - a/b*x;
return ans;
}

int main()
{
int t;
int n,num;
cin>>t;
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&num);
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",a+i);
}
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",b+i);
}
lli b1 = b[1];
lli a1 = a[1];
lli x,y;
int flag = 0;
for(int i = 2;i <= num;i++){
lli gcd = egcd(a1,a[i],x,y);
if((b[i]-b1) % gcd != 0){//这是模线性方程有整数解的充要条件
flag = 1;
break;
}
lli temp = a[i]/gcd;
x = x * (b[i]-b1)/gcd; // 也是约分的问题
x = (x%(temp) + temp) % (temp);
b1 = b1 + a1*x;
a1 = a1 * temp;// a1 = a1*a[i]/gcd
}
if(flag == 1 || n < b1){
puts("0");
}
else{
lli ans = (n-b1)/a1 + 1;
if(b1 == 0) ans--;
printf("%I64d\n",ans);
}
}

return 0;
}

方法2：

先求出所有 ai 的最小公倍数lcm，我们可知，如果有某个数x满足题目的性质的话，那么x+lcm也一定满足题目的描述。所以我们对于n%lcm+1到n%lcm + lcm这个区间里暴力搜索是否有满足条件的解。如果有那么sum += n/lcm，注意：每有一个，都要加一回n/lcm。

最后在1到n%lcm这个区间在找有没有符合的数，有的话，+1。

#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long int lli;

using namespace std;

int a[12];
int b[12];

lli gcd(lli a,lli b){
return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

int main(){
int t;
int n,num;
cin>>t;
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&num);
lli lcm = 1;
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",a+i);
lcm = lcm * a[i] / gcd(lcm,a[i]);
}
for(int i = 1;i <= num;i++){
scanf("%d",b+i);
}
lli ans = 0;
int flag;
for(int i = n%lcm + 1;i <= n%lcm + lcm;i++){
flag = 1;
for(int j = 1;j <= num;j++){
if(i%a[j] != b[j]){
flag = 0;
break;
}
}
if(flag == 1){
ans += n/lcm;
}
}

for(int i = 1;i <= n%lcm;i++){
flag = 1;
for(int j = 1;j <= num;j++){
if(i%a[j] != b[j]){
flag = 0;
break;
}
}
if(flag == 1){
ans += 1;
}
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;}