线性代数：方程组的几何解释

2x2 线性方程组
2x2 线性方程组的行图像Row Picture

2x2 线性方程组的列图像Column Picture

3x3 线性方程组
3x3 线性方程组的行图像Row Picture

3x3 线性方程组的列图像Column Picture

矩阵乘以向量
一次一列

一次一行

本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第一节： 方程组的几何解释 的学习笔记。

本节将讨论 线性代数基础 及求 解线性方程组。

从方程组开始讲解，有n个方程和n个未知数，即方程数和未知数个数相等，这种情况最让人舒服。

行图像（row picture）：一个行图像表示一个方程。

列图像（column picture）：

2x2 线性方程组

两方程和两未知数

2x−y=0−x+2y=3

取方程组的每一行作为矩阵的一行，上面方程组的等价于：

[2−1−12][xy]=[03]

最左侧的用矩阵 A 表示（系数矩阵），中间未知数用向量 x （这儿说的向量都是指列向量，除非特殊说明）表示，右侧结果用向量 b 表示，线性方程组可精简为：

Ax=b

2x2 线性方程组的行图像（Row Picture）

在 xy平面 上一次做出方程组中每个方程的图像。先做方程

2x - y = 0

的图像。

对于该方程，当

y=0

时，

x=0

，所以改方程的图像经过原点

0,0

；当

x=1

时，

y=2

，所以该方程经过点

(1,2)

。将两点连线即可得到方程的图像。



对于方程

-x  + 2y = 3

，当

y=0

时，

x=-3

；当

x=-1

时，

y=1

。连接两点。



两条直线相交于点

(1,2)

。所以上面方程组的解为

x=1, y=2

。

2x2 线性方程组的列图像（Column Picture）

取方程组的每一列作为矩阵的一列，上面方程组等价于：

x[2−1]+y[−12]=[03]

该方程组的目的是为了寻找如何将向量

[2, -1]

和 向量

[-1, 2]

进行线性组合，从而得到向量

[0, 3]

。即求出 x 和 y 的值。

下面开始做出向量

[2,-1]

的图像。



然后做出向量

[-1, 2]

的图像。



如何将这两个向量进行线性组合，得到向量 b

[0, 3]

呢，正确答案是 1 个向量

[2, -1]

（列1）， 2 个向量

[-1, 2]

（列2）。即：

1[2−1]+2[−12]=[03]

如何画出上面的图像呢？

将 向量

[2, -1]

（列1）的终点作为向量

[1, -2]

（列2）的起点，然后加上 2 个向量

[1, -2]

（列2）。最后终点的向量 b 的坐标

(0, 3)

。



思考一个问题，如果 x 和 y 取所有值，即任意组合的列1和列2的组合，会得到什么结果呢？

答案是任意的一个右侧向量。

3x3 线性方程组

2 x 2 线性方程组比较容易作图求解，3 x 3 线性方程组如何求解呢。通过理解方程组，理解方程组的方式包含上面的 行图像 和 列图像，行图像比较重要，列图像更重要。看下面的方程：

2x−x−y+2y−3y−z+4z=0=−1=4

等价于：

⎡⎣⎢2−10−12−30−14⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥

3x3 线性方程组的行图像（Row Picture）

在 xyz 坐标系中做出以上三个方程的图像。其中每个方程的图像都是一个平面。最后三个平面会相交于一点。



从上面可以看出，想要做出它的行图像是比较困难的。如果是四维的话，更不好做了。下面使用列图像来完成。

3x3 线性方程组的列图像（Column Picture）

方程组等价于：

x⎡⎣⎢2−10⎤⎦⎥+y⎡⎣⎢−12−3⎤⎦⎥+z⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥

在坐标系中分别做出这三个向量（列）。



很明显，右侧的向量 b 和系数矩阵 A 列3值是一样的，因此

x=0, y=0, z=1

。

思考一个问题，无论右侧向量 b 是多少，是否都能求解方程？等价于代数问题：对任意向量 b，能否求解 Ax=b ？ 用“线性组合”语言来描述：系数矩阵 A 的三个列向量的线性组合，能否覆盖整个三维空间？

对于我们上面用到的系数矩阵 A，答案是肯定的。因为它是一个 “good matrix”，它是 非奇异矩阵，它是 可逆矩阵 。

但是对于有的系数矩阵，答案是否定的。例如，如果系数矩阵的三个列向量在一个平面内（例如，列3等于列1加上列2），那么它们的线性组合也必定在这个平面内。因此，当右侧向量 b 处在这个平面内，则方程有解，否则无解。这种情形称为 奇异，矩阵并非 可逆。

矩阵乘以向量

矩阵 A 乘以向量 x （Ax）得到什么结果呢？

[2153][12]=?

有两种方法可以解决。

一次一列

[2153][12]=1[21]+2[53]=[127]

如何理解呢？Ax（矩阵 A 乘以向量 x） 可以理解矩阵 A 的各列的线性组合。 在这里就是 1 个矩阵 A 的列1 加上 2 个矩阵 A 的列2。

一次一行

[2153][12]=[2∗1+5∗21∗1+3∗2]=[127]