夕拾算法进阶篇：14)最长上升子序列(动态规划DP)

题目描述

一个数列ai如果满足条件a1 < a2 < ... < aN，那么它是一个有序的上升数列。我们取数列(a1, a2, ..., aN)的任一子序列(ai1, ai2, ..., aiK)使得1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。例如，数列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)的有序上升子序列，像(1, 7)， (3, 4, 8)和许多其他的子序列。在所有的子序列中，最长的上升子序列的长度是4，如(1, 3, 5, 8)。

现在你要写一个程序，从给出的数列中找到它的最长上升子序列。

输入

输入包含两行，第一行只有一个整数N（1 <= N <= 1000），表示数列的长度。

第二行有N个自然数ai，0 <= ai <= 10000，两个数之间用空格隔开。

输出

输出只有一行，包含一个整数，表示最长上升子序列的长度。

样例输入

7

1 7 3 5 9 4 8
样例输出

4

这个题目和最大连续子序列类似，例如有序列A={1,2,3,-1,-2,7,9} (下标从0开始)，它的最长不下降子序列是{1,2,3,7,9}，长度为5。和之前的分析一样：

令dp[i]表示以A[i]结尾的最长不下降序列长度 ，从而会有2中情况：

(1)若在A[i]之前存在一个元素A[j](j<i)，使得A[i]>=A[j]并且dp[j]+1>dp[i]，则可以更新dp[i]=d[j]+1，获得更长的序列

(2)若在A[i]之前的元素都比A[i]小，A[i]则注定单身一辈子，其序列长度为1

上面的过程可以用下面的小游戏说明，现有一个序列{1,5,2,3}，假设我们已经求出以A[0],A[1],A[2]结尾的最长不减序列为{1}、{1,5}，{1,2}，现在A[3]=3来了：

A[3]：A[0]我可以站在你后面吗？    A[0]：你比我高当然可以！

A[3]：A[1]我可以站在你后面吗？    A[1]：小矮子一边凉快去！

A[3]：A[2]我可以站在你后面吗？    A[2]：当然可以，我们可以形成更长的递增序列！

很明显，在求dp[i]的时候，其会依次和A[j](j<i)比较，只有A[i]较大且d[j]+1>dp[i]才会更新dp[i]的值。因此可以得到如下的状态转移方程：

                      dp[i]=max(1,dp[j]+1)       (j=1,2,3..,i-1 && A[j]<A[i])

根据上面的分析，可以给出下面的代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int M=1002;

int main(){
int n,i,j,a[M],dp[M],ans=1;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++){
scanf("%d",a+i);
dp[i]=1;
}
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<i;j++){
if(a[i]>=a[j]&&dp[i]<dp[j]+1){
dp[i]=dp[j]+1;
}
}
ans=max(ans,dp[i]);
}
printf("%d\n",ans);
}

题目来源：http://www.codeup.cn/problem.php?cid=100000627&pid=0