矩阵分析中的QR分解
2016-12-20 09:47
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定理1 (Gram-Schmidt 正交化方法):
对
中子空间
的一个基
,定义
那么
是
的一个正交基,此外有
定理2:
一个
的矩阵
具有单位正交列向量的充要条件是
。
证明:
必要性:
因为
所以有
充分性:略。
定理3 (QR分解):
如果
矩阵
的列
线性无关,那么
可以分解为
,其中
是一个
矩阵,其列形成
的一个标准正交基,
是一个
上三角可逆矩阵且在对角线上的元素为正数。
证明:
通过定理1构造
的一个标准正交基
,且取
满足
。
故存在常数
使得
可假设
(如果
,可以对
和
都乘以
),这表明
是
中列的线性组合,且系数是下面向量分量:
即
,故
证毕。
示例:求矩阵
的一个
分解,其中有
。
解:根据定理1可构造得到
结合定理2可得
所以有
解毕。
参考文献:
转自点击打开链接
对
中子空间
的一个基
,定义
那么
是
的一个正交基,此外有
定理2:
一个
的矩阵
具有单位正交列向量的充要条件是
。
证明:
必要性:
因为
所以有
充分性:略。
定理3 (QR分解):
如果
矩阵
的列
线性无关,那么
可以分解为
,其中
是一个
矩阵,其列形成
的一个标准正交基,
是一个
上三角可逆矩阵且在对角线上的元素为正数。
证明:
通过定理1构造
的一个标准正交基
,且取
满足
。
故存在常数
使得
可假设
(如果
,可以对
和
都乘以
),这表明
是
中列的线性组合,且系数是下面向量分量:
即
,故
证毕。
示例:求矩阵
的一个
分解,其中有
。
解:根据定理1可构造得到
结合定理2可得
所以有
解毕。
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