矩阵分析基础知识

对称矩阵：

在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。


对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线（左上至右下）为轴进行对称。

若将其写作

，则：


当i和j对等时。下列是3×3的对称矩阵：



反对称矩阵:

在线性代数中，反对称矩阵（或称斜对称矩阵）是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身的加法逆元相等。

其满足： AT = − A 或写作

，各元素的关系为：


例如，下例为一个斜对称矩阵：



正定矩阵:

定义：一个n × n 的实对称矩阵
M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有
zTMz > 0。其中zT 表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n ×
n 的埃尔米特矩阵
M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz > 0。其中z* 表示z的共轭转置。由于
M 是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。