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矩阵分析中的QR分解

2013-10-31 20:54 155 查看

定理1 (Gram-Schmidt 正交化方法)：

对
$\mathbb{R}^n$
中子空间
$W$
的一个基
$\{\vec{x_1},...,\vec{x_p}\}$
，定义

$\vec{v_1}=\vec{x_1}$

$\vec{v_2}=\vec{x_2}-\frac{\vec{x_2}\cdot\vec{v_1}}{\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}}\vec{v_1}$

$\vec{v_3}=\vec{x_3}-\frac{\vec{x_3}\cdot\vec{v_1}}{\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}}\vec{v_1}-\frac{\vec{x_3}\cdot\vec{v_2}}{\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}}\vec{v_2}$

$......$

$\vec{v_p}=\vec{x_p}-\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\vec{x_p}\cdot\vec{v_k}}{\vec{v_k}\cdot\vec{v_k}}\vec{v_k}$

那么
$\{\vec{v_1},...,\vec{v_p}\}$
是
$W$
的一个正交基，此外有

$Span\{\vec{v_1},...,\vec{v_k}\}=Span\{\vec{x_1},...,\vec{x_k}\},(1\leqslant k \leqslant p) \qquad (1)$

定理2：

一个
$m\times n$
的矩阵
$U$
具有单位正交列向量的充要条件是
$U^TU=I$
。

证明：

必要性：

$U^TU=\begin{pmatrix} \vec{u}_1^T\\ \vec{u}_2^T\\ ...\\ \vec{u}_n^T \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & ... & \vec{u}_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vec{u}_1^T\cdot\vec{u}_1 & \vec{u}_1^T\cdot\vec{u}_2 & ... & \vec{u}_1^T\cdot\vec{u}_n\\ \vec{u}_2^T\cdot\vec{u}_1 & \vec{u}_2^T\cdot\vec{u}_2 & ... & \vec{u}_2^T\cdot\vec{u}_n\\ ... & ... & ... & ...\\ \vec{u}_n^T\cdot\vec{u}_1 & \vec{u}_n^T\cdot\vec{u}_2 & ... & \vec{u}_n^T\cdot\vec{u}_n \end{pmatrix}$

因为

$\vec{u}_i^T\cdot\vec{u}_j=\begin{cases} 1 & \text{ if } i= j \\ 0 & \text{ if } i\neq j \end{cases}$

所以有

$U^TU=I$

充分性：略。

定理3 (QR分解)：

如果
$m\times n$
矩阵
$A$
的列
$\vec{x}_1, ..., \vec{x}_n$
线性无关，那么
$A$
可以分解为
$A=QR$
，其中
$Q$
是一个
$m\times n$
矩阵，其列形成
$Col~A$
的一个标准正交基，
$R$
是一个
$n\times n$
上三角可逆矩阵且在对角线上的元素为正数。

证明：

通过定理1构造
$W=Col~A$
的一个标准正交基
$\{\vec{u}_1,...,\vec{u}_n\}$
，且取

$Q=\begin{pmatrix} \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & ... & \vec{u}_n \end{pmatrix}$

满足
$Span\{\vec{x}_1,...,\vec{x}_k\}=Span\{\vec{u}_1,...,\vec{u}_k\},(k=1,...,n)$
。

故存在常数
$r_{1k},r_{2k},...,r_{kk}$
使得

$\vec{x}_k=\sum_{i=1}^{k}r_{ik}\vec{u}_i+\sum_{i=k+1}^{n}0\cdot \vec{u}_i$

可假设
$r_{kk}\geqslant 0$
(如果
$r_{kk}$
，可以对
$r_{kk}$
和
$\vec{u}_k$
都乘以
$-1$
)，这表明
$\vec{x}_k$
是
$Q$
中列的线性组合，且系数是下面向量分量：

$\vec{r}_k=\begin{pmatrix} r_{1k}\\ \vdots \\ r_{kk}\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$

即
$\vec{x}_k=Q\vec{r}_k,(k=1,2,...,n)$
，故

$A=\begin{pmatrix} \vec{x}_1 & \vec{x}_2 & ... & \vec{x}_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} Q\vec{r}_1 & Q\vec{r}_2 & ... & Q\vec{r}_n \end{pmatrix}=QR$

证毕。

示例：求矩阵
$A$
的一个
$QR$
分解，其中有

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
。

解：根据定理1可构造得到

$Q=\begin{pmatrix} 1/2 & -3/\sqrt{12} & 0\\ 1/2 & ~~1/\sqrt{12} & -2/\sqrt{6}\\ 1/2 & ~~1/\sqrt{12} & ~~1/\sqrt{6}\\ 1/2 & ~~1/\sqrt{12} & ~~1/\sqrt{6} \end{pmatrix}$

结合定理2可得

$Q^TA=Q^TQR=(Q^TQ)R=IR=R$

所以有

$R=Q^TA=\begin{pmatrix} 2 & 3/2 & 1\\ 0 & 3/\sqrt{12} & 2/\sqrt{12}\\ 0 & 0 & 2/\sqrt{6} \end{pmatrix}$

解毕。

参考文献：

$[1] David~C.~Lay.~Linear~Alegbra~and~Its~Applications~(3^{rd}~Edition).~China~Machine~Press(2005).$

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