穿越沙漠问题，飞机加油问题

一、问题描述

一辆吉普车来到1000km宽的沙漠边沿。吉普车的耗油量为1L／km，总装油量为500L。显然，吉普车必须用自身油箱中的油在沙漠中设几个临时 加油点，否则是通不过沙漠的。

假设在沙漠边沿有充足的汽油可供使用，那么吉普车应在哪些地方、建多大的临的加油点，才能以最少的油耗穿过这块沙漠?

二、问题分析

本题是一个极值问题，要求具有最小的油耗。因此，它的解是唯一的。吉普车在沙漠中建临时油库，是逐步向前推进的，即建好一个油库后，再建下一个油库。为使油耗最小应做

到：

(1)每次吉普车出发时都应满载，放下一部分油再返回时，油恰好用完，并且把下一    个油库建好后这个油库中的油恰好用完。所以每个点的油库中的油都应是吉普车装油量的整数

倍(因为出发时满载)，即500Xk(k为正整数)，并且每个点的 存油量为下一个点的存油量及吉普车为建立下个油库在两点之间往返的油耗之和 (下一个油库建成，前一个油库中的油恰

好用完)。

(2)吉普车为建立下一个油库运油次数应最少。

用递推法解这个题，可由一个点的存油量推出相邻的另一个点的存油量及两点之    间的距离。但正推是不可能的，因为第一个点的存油量及其距A的距离尚无法确定。但是可推得

最后一个点Cl的存油量应为500L，它与B相距为500km， 这样吉普车从Cl到达B恰好跑一趟B。递推必须由已知的初始条件开始。为此本题应使用倒推法。A为起始点，B为终 点，

 C1，…，Cn分别为倒数第1，2，…，n个临时油库点。

由于B点无需储油，吉普车只须从Cl到达B即可，所以C1点的存油量应为500L，C1到B的距离为500km。为向C1送500L油，吉普车最少 要满载出发两次(若一趟，因途中要耗油而

不可能)，往返共三程(应为奇数)。考虑最少油耗，C2点应存油2*500L。由此可得如下关系：

    v2=3*x2+500=2*500

    x2=500/3

    C2：距B的路程为：

    d2=d1+x2=500+500/3=(1+1/3)*500

为向C2：送1000L油，吉普车最少要满载出发3次，往返共5趟。考虑最少油耗，C3，点应存油3*500L。由此可得：

    v3=5*x3+v2=3*500

    x3=500／5

    d3=d2+x3=(1+1／3+1／5)*500

同理可知，对倒数第i个点有：  

    Vi=(2*i-1)Xi+Vi-1=i*500    —

    Xi=500／(2*i—1)    ：

    Di=di-1+xi=(1+1/3+1/5+…1／(2*i-1))*500

    递推到di≥1000时结束。当di≥1000时，Ci-1就是倒数最后一个油库点。它距A的距离为1000—di-l。