【智力题】飞机加油问题

已知： 每个飞机只有一个油箱， 飞机之间可以相互加油（注意是相互，没有加油机） 一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈，

问题：为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架飞机？（所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场）

参考答案：3架飞机、5架次；飞行方案：A、B、C同时从机场出发，飞至1/8处，C给A、B分别加上1/8的油，自身还剩下1/8的油，C安全返回机场；A、B同时飞至1/4处，B给A加上1/8的油，自身还剩下1/4的油，B安全返回机场；A独自飞至1/2处，此时B从机场（逆向）起飞；A和B同时飞至3/4处，B给A加上1/8的油，自身还剩下1/8的油，此时C从机场（逆向）起飞；A、B、C同时飞至7/8处，C给A、B同时加上1/8的油，此时A、B、C均有1/8的油，A、B、C均能安全返回机场。

扩展思考：在直线飞行的情况下，一架飞机载满油飞行距离为1，n架飞机最远能飞多远？

第n架飞机剩的油*2（往返消耗油量）+其他n-1架飞机消耗油的总量=第n架飞机携带油的总量，所以这n架飞机共同飞了1/(n+1)，那么：

参考答案：1架飞机：1；2架飞机：1+1/3；3架飞机：1+1/4+1/4；…可推得n架飞机：1+(n-1)/(n+1) = 2n/(n+1)

扩展思考：在直线飞行的情况下，不要求返回机场，一架飞机载满油飞行距离为1，n架飞机最远能飞多远？

第k架飞机剩的油=前k-1架飞机消耗油的总量，所以这k架飞机共同飞了1/k，那么：

参考答案：1架飞机：1；2架飞机：1+1/2；3架飞机：1+1/2+1/3；…可推得n架飞机：1+1/2+1/3+..+1/n

一辆载油500升的汽车从A开往1000公里外的B，已知汽车每公里耗油量为1升，A处有无穷多的油，其他任何地点都没有油，但该车可以在任何地点存放油以备中转，问从A到B最少需要多少油？

最少耗油的要求，先得有几个前提： 1.汽车到达终点时油箱是空的。2.路上的每一个中转点都没有剩下油。

现在画一个数轴，代表起点到终点的路径，在这个数轴上取m个点，分别记为X(1)，X(2)，...，X(m)。X(i)表示第i个点到终点的距离。1号点为起点，m号点为终点。所以有X(1)=0，X(m)=1000。设汽车油箱的容量为A，由题目可知A=500。设S(i)表示在第i最少存放多少升油，那么显然S(m)=0，而我们要求的就是S(0)。再设n(i)为从第i-1点到第i点需要的往返次数（注意，一去一回代表一次往返）。好，以上就是需要定义的一些符号，

下面开始推导过程：

从i-1点往i点运油时，最节省的情况是从i-1点出发时应该油箱装满油，然后在i点放下油后回到i-1点时油箱是空的，这时候运油的

效率是最高的。所以有： S(i) = A - [X(i)-X(i-1)] + {A - 2*[X(i) - X(i-1)]}*n(i)。

上式中A - [X(i)-X(i-1)]是最后一次从i-1点到i点油箱中剩下的油；{A - 2*[X(i) - X(i-1)]}*n(i)表示在n(i)次往返过程中总共 在i点存下的油。把上式化简合并一下得到式(1):

S(i) = [n(i) + 1]*A -[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)] -----(1)

又因为到第i点存下的油等于第i-1点存下的油减去从i-1点到i点的总损耗，而从i-1点到i点的总损耗为[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]，所以有下式：

S(i) = S(i-1) -[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]。

把(1)式带入上式则可得到式(2-1):

S(i-1) = [n(i) +1]*A -----(2-1)

同理有式(2-2)

S(i) = [n(i+1) +1]*A -----(2-2)



用(2-1)减去(2-2)得到式(3):

S(i-1) - S(i) = [n(i) -n(i+1)]*A -----(3)

因为S(i-1) - S(i)表示的是从i-1点到i点的总损耗，而A是固定值，所以由(3)式得知，要使总损耗最小，就需要n(i) - n(i+1)最小

，因为S(i-1) - S(i)必然>0，所以n(i) - n(i+1)>0，且n[i]是整数，所以就有min([n(i) - n(i+1)]) = 1。所以有式(4)：

n(i) - n(i+1)= 1==> n(i) = n(i+1) + 1 -----(4)

把式(4)代入式(2-2)就得到式(5)：

S(i) =n(i)*A -----(5)

再把式(5)代入式(1)并化简就可以得到式(6):

X(i) - X(i-1) =A/[2*n(i) + 1] -----(6)

X(i) - X(i-1)表示的相邻两点之间的距离，所以显然要达到终点的话就必须有：



又因为n(m)=0，即从最后一个中转点到终点是不需要往返的。再由式(4)就有：n(m-1) = 1，n(m-2) = 2, …，即有n(i) = m-i成立。我们从终点往起点回退，再由上式就有：



所以求出来m=8。但是m=8时，求出来的和 约等于1010.9比1000大，所以不能由式(5)直接算S(0)，而应该先算S(1) = (m-1)*A = (8-1)*500 = 3500升。也就是说在第一个中转点应该要存3500升油。然后再算从第0点到第1点的损耗，由前面的计算我们可以得到X(1) = 1000 – (500 + 500/3 + 500/5 + 500/7 + 500/9 + 500/11 +500/13) ≈ 22.433米。

所以从第0点到第1点的总耗损可以由前面的总损耗公式[2*n(i) + 1]*[X(i) - X(i-1)]求出： [2*n(1) + 1]*(22.433- 0) = (2*7 + 1)*22.433 = 336.495

所以总耗油量就约为 3500 + 336.495 = 3836.495升。



题目可归结为求数列 an=500/(2n+1) n=0,1,2,3......的和Sn什么时候大于等于1000,解得n> 6 　　当n=6时，S6=977.57

所以第一个中转点离起始位置距离为1000-977.57=22.43公里

　所以第一次中转之前共耗油 22.43*(2*7+1)=336.50升

　　此后每次中转耗油500升

　　所以总耗油量为7*500+336.50=3836.50升

但题目如果是：
汽车油箱容量为1，开始道路上没有加油站，但可以在任意位置建，加油站初始没有油，汽车经过一个加油站时可以将油箱里一部分油存到加油站。问汽车最少要往回返多少次能到终点？

往返两次，如果采用接力的形式：
假设第一段为x， 第二段为y，最后冲刺z，由于是接力形式，那么3(x+y)+z==2，使得x+y+z最大，同时z<=1，即(x+y)>=1/3，欲x+y+z最大，必须x+y=1/3，这样和只往返一次的效果是相同的。。。最多只能冲刺4/3

同样假设第一段为x，第二段为y，最后冲刺z，不采用接力的形式，即到达y后重新返回起点，那么1-2(1/3+y) = y，即冲刺到x=1/3的位置时加满油，遇到下一个再次把油补满，此时可以冲刺1+1/3+1/9

所以。。。上面的公式不完全适用。。。。