HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻(数位DP)

Problem Description

　　单身!

　　依然单身！

　　吉哥依然单身！

　　DS级码农吉哥依然单身！

　　所以，他生平最恨情人节，不管是214还是77，他都讨厌！

　　

　　吉哥观察了214和77这两个数，发现：

　　2+1+4=7

　　7+7=7*2

　　77=7*11

　　最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和7有关！所以，他现在甚至讨厌一切和7有关的数！

　　什么样的数和7有关呢？

　　如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关——

　　1、整数中某一位是7；

　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；

　　3、这个整数是7的整数倍；

　　现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。

 

Input

输入数据的第一行是case数T(1 <= T <= 50)，然后接下来的T行表示T个case;每个case在一行内包含两个正整数L, R(1 <= L <= R <= 10^18)。

 

Output

请计算[L,R]中和7无关的数字的平方和，并将结果对10^9 + 7 求模后输出。

 

Sample Input

3
1 9
10 11
17 17

 

Sample Output

236
221
0

 

Source

2013腾讯编程马拉松初赛第一场（3月21日）

 
题意：
求区间[l,r]内所有与7无关的数的平方和（取模）
定义与7无关的数： 
                                     1.数字的数位上不能有7
                                     2.数字的数位和不能是7的倍数
                                     3.数字本身不能是7的倍数
分析：
状态的保存：
1.数位上不能有7: 只需枚举数位的数字的时候跳过7就好 if (i == 7) continue;
2.数位和不能是7的倍数: 那么开一维保存数位和除以7的余数
3.数字本身不能是7的倍数：再开一维保存数字除以7的余数
综上，dp[i][j][k]3个维度保存的数字属性分别是：
                           i : 当前处理的数位
                           j : 数位和%7 等于j
                           k: 数字本身%7等于k
对于具有上述属性的数，用dp保存它们的3个值:（用结构体）
                         cnt: 具有该属性的所有数字的个数
                         s :具有该属性的所有数字的和
                         ss:具有该属性的所有数字的平方和
为什么要保存这3个值？为了下面的计算
状态的转移：
关于状态转移，先简单的写这样一个式子：dp[i][j][k] = ∑dp[i-1][(j+dig)%7][(k*10+dig)%7]（这里的求和符号不指加法，是一个抽象的意义）

其中dig是枚举的正在处理的数位i上所有可能的数字（这个式子只能帮助理解状态是如何转移的但是却不表示具体的运算，dp是结构体当然不能直接运算）

上面的等式，我们称等式左边表示总状态，等式右边为其子状态，显然总状态是等于所有子状态的“总和”（我说的状态的总和并非指加法运算）

那么怎么通过子状态算出总状态呢？

具体的计算：

先说几句废话：

对于1234这个数，它的数位上的数是1,2,3,4，它的数位和是1+2+3+4，它自身的数值是 1*1000+2*100+3*10+4

如果我知道数字234是与7无关的数，在其前面加一个1，也是与7无关的数，我是怎样计算在其前面加一个1之后的数的平方和的呢

(1*1000)^2 + 2*(1*1000)*234 + 234^2  这里相当于（1000+234）^2

注意：在具体的状态转移中，我们是不知道234这个值，我们只知道有这么一个子状态

另外，这只是一个数的平方，我们要求的是所有满足的数的平方和，所以最后具体的算式如下：

设总状态为ans，它其中一个子状态为tmp,枚举正在处理的这一数位上的数字为 i ,数位 i 在整个数字中具体的数值是i*10^p

那么有：

                 (1) ans.cnt += tmp.cnt

                 (2) ans.s += tmp.s + [ i*10^p ]*tmp.cnt      

                 (3) ans.ss += tmp.ss + 2*(i*10^p)*tmp.s + [(i*10^p)^2]*tmp.cnt

在具体代码中我用一个数组p保存10的次方，然后特别注意一下取模

具体的做法代码写的很详细：

#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
(1) ans.cnt += tmp.cnt
(2) ans.s += tmp.s + [ i*10^p ]*tmp.cnt
(3) ans.ss += tmp.ss + 2*(i*10^p)*tmp.s + [(i*10^p)^2]*tmp.cnt
*/
const int N = 20;
const int mod = 1e9+7;
struct Node
{
ll cnt; //与 7 无关的数的个数
ll s;//与 7 无关的数的和
ll ss;//与 7 无关的数的平方和
Node(){cnt = -1;s = 0,ss = 0;} //默认的构造函数，初始化cnt顺便标记是否访问过
}dp[N+2][10][10];
int  dig[N+2];//保存数字的每一个数位上的数
ll p[N+2];//保存10的次方 PS：记得取模
void init()
{
p[1] = 1;//因为我的数字的个位用dig[1]表示，所以我用p[1]记录10的0次方
for (int i = 2;i < N;++i) p[i] = (p[i-1]*10)%mod;
}
inline ll EX(ll x)//求平方
{
x%=mod;
return (x*x)%mod;
}
Node dfs(int len,int r1,int r2,bool up)
{
if (len == 0)
{
Node tmp;
tmp.cnt = (r1&&r2);//数位和不是7的倍数且数字不是7的倍数
tmp.s = tmp.ss = 0;
return tmp;
}
if (!up&&dp[len][r1][r2].cnt!=-1) return dp[len][r1][r2];
int n = 9;if (up) n = dig[len];
Node ans;ans.cnt = 0;
for (ll i = 0;i <= n;++i)
{
if (i == 7) continue;
Node tmp = dfs(len-1,(i+r1)%7,(i+r2*10)%7,up&&i==n);//得到子状态
//求总状态
ans.cnt = (ans.cnt + tmp.cnt)%mod; // (1)

ans.s = (ans.s + (tmp.s + (i*p[len])%mod*tmp.cnt%mod)%mod)%mod; // (2)

ans.ss = (ans.ss + (tmp.ss +( (2LL*i*p[len]%mod)*tmp.s)%mod)%mod)%mod;// (3)式子太长分开写
ans.ss = (ans.ss + (EX(i*p[len])*tmp.cnt)%mod)%mod;
}
if (!up) dp[len][r1][r2] = ans;
return ans;
}
ll cal(ll x)
{
int len = 0;
while (x)
{
dig[++len] = x%10;
x/=10;
}
return dfs(len,0,0,1).ss;
}
int main()
{
int T;init();
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
ll l,r;
scanf("%I64d %I64d",&l,&r);
printf("%I64d\n",((cal(r)- cal(l-1))%mod + mod)%mod);
}
return 0;
}