高斯消元求解多元一次方程组

最近刚接触高斯消元，懂得不多，但是这玩意琢磨起来很有意思。

我们把一系列方程 a1x1+b1x2+c1x3+`````=M1           a2x1+b2x2+c2x3+````=M2             a3x1+b3x2+c3x3+````=M3

看成是矩阵:

{a1 b1 c1 ````}        {x1}                     {M1}

{a2 b2 c2 ````}   *    {x2}       =           {M2}

{a3 b3 c3 ````}        {x3}                     {M3}

然后，把矩阵变成.

{a1 b1 c1 ````|M1}

{a2 b2 c2 ````|M2}

{a3 b3 c3 ````|M3}

然后就可以把矩阵化为上三角。

最后一排一定是xn=Mn,然后求解倒数第二排，由于解出了一个元，就是一元一次方程了。     然后依次类推可以倒着解出所有的x1,x2,x3,`````

这就是高斯消元的基本原理。

具体算法：



然后我手写了一个求解多元一次方程的cpp.

(本人蒟蒻，大神勿喷)

测试效果:



然后是源码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=1000;
int n;//n个方程
int m;//总的可解方程个数
double f[maxn][maxn];
int tot;//自由元的个数
int is[maxn];//是否自由元
double x[maxn];
void init()
{
tot=0;
memset(f,0,sizeof(f));
memset(is,0,sizeof(is));
}
void solve()
{
int k=1;
int j;
for(int i=1;;i++)
{
if(i==n+1)
{
for(int j=k;j<=n;j++)
if(f[j][n+1]!=0)
{
printf("无解\n");
return ;
}
m=k-1;
return ;
}
for(j=k;j<=n;j++)if(f[j][i])break;
if(j==n+1)
{
is[i]=++tot;
continue;
}
swap(f[j],f[k]);
for(int j=k+1;j<=n;j++)
{
if(f[j][i])
{
double t=f[j][i]/f[k][i];
for(int l=i;l<=n+1;l++)f[j][l]=f[k][l]*t-f[j][l];
}
}
k++;
if(k>n)break;
}
m=n;
}
void get_ans()
{
if(tot>=1)
{
puts("存在自由元，不予解决\n");
return ;
}
for(int i=m;i;i--)
{
x[i]=f[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
x[i]-=x[j]*f[i][j];
}
x[i]/=f[i][i];
}
}
int main()
{
puts("请输入方程的元数:");
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)//每个方程
{
printf("请输入第 ‘%d ’ 个方程的每个未知数的系数:",i);
for(int j=1;j<=n;j++)//输入每个方程的每个未知数前面的系数
{
scanf("%lf",&f[i][j]);
}
puts("请输入该方程的解:");
scanf("%lf",&f[i][n+1]);
}
solve();
get_ans();
for(int i=1;i<=n;i++)printf("x[%d] :%lf\n",i,x[i]);
return 0;
}