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1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：（解法一）高斯消元+KMP算法；（解法二）暂时不明觉厉==。这里主要讲一下解法一的思路。设E(i)表示从下标i到模式串末尾这段子串的长度期望。那么首先建立失配状态转移图，那么根据期望的线性性质和全期望公式，结果就是E(i)=sum{E(j)|j是所有从i可以转移到的状态}/n+1，由于一共有m个未知量，因此建立一个m阶的系数矩阵，利用高斯消元求解即可。下面举一个例子来具体说说这种做法。

比如：n=5, s=“ABADABAC”，即字符串备选集为{‘A’,'B','C','D','E'}。那么，所有E(i)对应的随机串形式如下：

E(0)：XX..XXXABADABAC

E(1)：XX..XXXBADABAC

E(2)：XX..XXXADABAC

E(3)：XX..XXXDABAC

E(4)：XX..XXXABAC

E(5)：XX..XXXBAC

E(6)：XX..XXXAC

E(7)：XX..XXXC

接下来考虑E(0)所有可以转移到的子状态，根据题意，s串必须只能在末尾出现，在XX..XXX中不能够提前出现，这时候我们需要利用一下失配指针。如下：

  0 1 2 3 4 5 6 7

f:0 0 0 0 0 1 2 3

假设当前随机选到了字符‘D'，这说明了什么呢？说明会出现XX..ABAD这样的一个随机串，它只需要再加上“ABAC”这样一个串，就可以得到s串了，而这种情况恰好就是E(4)，而如果当前随机选到了字符’A'，那么会出现XX..A这样的随机串，此时只需要再加上“BADABAC”这样一个串，就可以得到s串了，而这种情况恰好是E(1)。而如果随机选到了‘B’，‘E'，那就是E(0)本身了，而如果选到了’C'，那么这种情况已经包含在了E(0)本身中，因此忽略。即E(0)对应的子状态有E(4),E(1)，E(0)这3种，可以用失配函数得到，且有2次转移到了E(0)，其他只有1次转移机会。因此可以列出E(0)=(E(4)+E(1)+2*E(0))/5+1这样一个方程。同理可以列出其他m-1个方程，最后用高斯消元即可求出E(0)。

3.代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<complex>
#include<functional>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

using namespace std;

#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define pb push_back
#define lid (id<<1)
#define rid (id<<1|1)

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;

const int N=20+5;
typedef ll Matrix

;

int n,m;
char s
;
int f
;
void getFail(char*p)
{
m=strlen(p);
f[0]=f[1]=0;
for(int i=1;i<m;i++)
{
int j=f[i];
while(j&&p[i]!=p[j])j=f[j];
f[i+1]=p[i]==p[j]?j+1:0;
}
}

void gauss(Matrix A,int n)
{
int i,j,k,r;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=n;j>=i;j--)
for(k=i+1;k<n;k++)
A[k][j]-=A[k][i]/A[i][i]*A[i][j];
}
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
for(j=i+1;j<n;j++)
A[i]
-=A[j]
*A[i][j];
A[i]
/=A[i][i];
}
}

int main()
{
int T,kase=0;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
if(kase++)puts("");
scanf("%d%s",&n,s);
getFail(s);
Matrix a;
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0;i<m;i++)
{
a[i][i]=a[i][m]=n;
for(int j=0;j<n;j++)
{
int t=i;
while(t&&s[t]!='A'+j)t=f[t];
if(s[t]=='A'+j) //如果恰好匹配，那么还需要后缀t+1即可得到串s
{
if(t+1<m)a[i][t+1]-=1;
}
else a[i][t]-=1; //否则，还需要后缀t才能得到串s
}
}
gauss(a,m);
printf("Case %d:\n",kase);
printf("%lld\n",a[0][m]);
}
}

（解法二）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<complex>
#include<functional>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

using namespace std;

#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define pb push_back
#define lid (id<<1)
#define rid (id<<1|1)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> P;

char buf[20];
int n;

bool cmp(char s[],int i,int j){
for(int k=0;s[i+k] && s[j+k] ; k++){
if(s[i+k] != s[j+k]) return false;
}
return true;
}

long long solve(){
long long res = 0;
for(int i=0;buf[i];i++){
if(cmp(buf,0,i)) res++;
res *= n;
}
return res;
}

int main(){
int T,nCase = 1;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d %s",&n,buf);
printf("Case %d:\n%lld\n",nCase++,solve());
if(T) printf("\n");
}
return 0;
}