bzoj2466高斯消元求解XOR方程

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2466

不会做，暴力- - 所以T掉不解释（n<=100）

正解是高斯消元。

预备知识：矩阵乘法，行列式的基本变换(其实不需要，只是掌握了之后可以把消元的过程看成是行列式转成上三角的过程)，XOR操作.

对于一个不会高斯消元的蒟蒻，看网上的大神的题解都是各种被虐，所以慢慢补一下高斯消元了。

我是看的这个：http://wenku.baidu.com/link?url=Z95T7uQuRT41kCI84hAi0vsjjwlVuVH98T-6V9i21agTB0p7ROQhmC6P-NrmvSF2flbj4dzxYiKLgCNZdm7CALSTYDO_yPAGQzm4vKeEA7W

主要理解一下高斯消元是怎么搞的。（其实就是把未知量的系数搞进系数矩阵，每行都是一个方程，答案可以存在每一行的末尾）

也许很多人都是从一般的解多元一次方程开始看，我是为了做题，所以只看的求解XOR方程，其实思想完全一样，只是在实现的时候一个用+,-,*,/一个用^而已。

看这个样例：

3

1 2

1 3

对于XOR方程的系数我们不妨看成是是否关联。

设xi为第i盏灯是否操作(每盏灯至多操作一次，否则就变回来了，浪费次数)。

设bi为第i盏灯是否亮。

设m[i][j]表示第i,j盏灯是否相连。

然后我们得到了这样的方程  (x1*(1,1,1))  ^  (x2*(1,1,0))  ^  (x3*(1,0,1)) =(1,1,1)

解释一下，就是x1*(1,1,1)表示x1是否选择，(1,1,1)表示关联。   如果x1=1,这三盏等都亮；否则，都不亮。

剩下的同理。

整个式子就是x1,x2,x3的操作会对总的灯造成什么影响。 （如果最后都为1表示全亮）

这个式子可以看成一个矩阵乘法       (其实矩阵是关于主对角线对称的，有没有发现)

{1 1 1}                 {x1}                {1}

{1 1 0}        *        {x2}      =       {1}

{1 0 1}                 {x3}                {1}

然后就是利用之前所说的类似于处理上三角的方法消元。

可以看成是         |右边的是方程的解

{1 1 1|1}

{1 1 0|1}

{1 0 1|1}

最后我们可以得到

{1 1 1|1}

{0 1 0|0}

{0 0 1|0}

然后倒着求解。

x3*1=0     x3=0

x2*1=0     x2=0

x1*1   ^  x2*1  ^  x3*1  =1

x1=1

然后就搞完了

有可能处理到有些自由变量，比如处理到某个变量的时候，在后面找不到该个变量为1的了。

自由变量对该行方程的解无影响，但对其他方程可能有影响，最后的时候需要枚举这些求解。

算法：



最后枚举所有的自由变量。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=110;
bool f[maxn][maxn];
int ans[maxn];
int is[maxn];
int n,m;
int tot;
void init()
{
memset(f,0,sizeof(f));
memset(is,0,sizeof(is));
ans[0]=0x3f3f3f3f;
tot=0;
}

void solve()//高斯消元
{
int k=1;
int j;
for(int i=1;;i++)//枚举变量
{
if(i==n+1)
{
for(j=k;j<=n;j++)
{
if(f[j][n+1]==1)
{
puts("-1");
return ;
}
}
m=k-1;
return ;
}
for(j=k;j<=n;j++)
{
if(f[j][i])break;
}
if(j==n+1)
{
continue;
is[i]=++tot;
}
else
{
swap(f[k],f[j]);
for(j=k+1;j<=n;j++)
{
if(f[j][i])for(int l=i;l<=n+1;l++)f[j][l]^=f[k][l];
}
}
k++;
if(k>n)break;
}
m=n;
}
void get_ans()
{
for(int j=n+1,i=m;i;i--)
{
for(j--;j&&is[j];j--);
ans[j]=f[i][n+1];
for(int k=j+1;k<=n;k++)
if(f[i][k])ans[j]^=ans[k];
}
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
{
init();
for(int i=1;i<n;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
f[a][b]=f[b][a]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=f[i][n+1]=1;
solve();
for(int i=0;i<1<<tot;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(is[j])ans[j]=(i>>is[j]-1)&1;
}
get_ans();
int cnt=0;
for(int j=1;j<=n;j++)if(ans[j])cnt++;
ans[0]=min(ans[0],cnt);
}
printf("%d\n",ans[0]);
}
return 0;
}