线性代数导论19——行列式公式和代数余子式

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
第十九课时：行列式公式和代数余子式

本讲目的是找出行列式的求解公式，代数余子式的概念。

对于2×2的方阵，利用三大性质，特别是线性性质可得到推导方法，这种方法是一次取一行进行变换。



对于3×3的矩阵，可以同样的将(a b c)分解为（a+0  b+0  c+0），然后同样的需要再把第二行分解成3部分，最后把第三行分解成3部分，总共得到27个，3的立方。得到的27个矩阵有很多行列式将为0，不为0的幸存者各行各列均有元素。



推广到n维方阵A，detA将有n!个项。正负号取决于（α，β，γ，...，ω）排列调整为标准排列需要的调整次数，奇数次为负，偶数次为正。行列式求解公式如下：



（α，β，γ，...，ω）是（1,2,3...n）的全排列，所以有n!项。

由这个公式反证那些性质，单位矩阵的行列式为1，上式只有第一项1，其余都为0。

教授讲得正欢，突然。。。教授说：keep walking away......笑喷我了。。。教授给我的感觉既认真严肃但又不失风趣，是国内教育所不能比的！


 

 

 

 


代数余子式Cofactor

代数余子式是从上述公式中提炼出来的。代数余子式的作用就是将n阶行列式化简为n-1阶行列式。

上述3×3的公式可写成：

detA=a11 * (a22*a33 - a23*a32) + a12 * () + a23 * ()

其中，(a22*a33 - a23*a32)就是a11的代数余子式，(a22*a33 - a23*a32)即去掉a11所在的行与列后的2阶行列式，正负号与去掉的a11的下标11有关，所以

aij的代数余子式概念Cij是：去掉aij所在的行与列，剩余的因子组成的n-1阶行列式，并且，正负符号为：当i+j为偶数时取正，i+j为奇数时取负。

aij的余子式的概念：去掉aij所在的行与列，剩余的因子组成的n-1阶行列式。（去掉符号的部分）

有关代数余子式的方程：



这是第一行的代数余子式的展开式，也是求行列式的另外一种方法，它能循环将n阶行列式展开为1阶行列式。

对于二阶行列式，可以使用代数余子式的方法：



两种主要的求行列式的方法：

1）行列式等于主元的乘积（主元公式），只要先通过消元得到主元，最简单；

2）通过代数余子式的方法，把原行列式展开成更简单的行列式。

例子，An是一个“三对角线矩阵（对角线上的元素都是1）”，看看三对角线矩阵的行列式的值是怎样的



三对角线矩阵A1,A2,A3...An的行列式是一个 1 0 -1 -1 1 如此循环的数列，行列式的值以6为周期变化。