线性代数导论25——第二阶段总结

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
第二十五课时：第二阶段总结

本讲是对前阶段的复习课。主要内容有正交性QTQ=I；计算到线和子空间的投影，用来解决Ax=b的问题；格拉姆-施密特正交化将无关的向量投影到另一向量，将获得的向量投影从向量中减去，新得到向量和之前的正交，将基变为标准正交基；行列式；特征值和特征向量。发现教授的复习课时很重要的，他的例子能让知识连贯起来，触类旁通。

题1：三维向量空间中，有a(2 1 2)，要找到投影矩阵P，使得任意向量投影到a的投影矩阵为P，P的特征值和特征向量是多少？求解差分方程uk+1=Puk，u0=(9 9 0)

得到投影矩阵P如上图，特征值有三个0,0,1，特征值为1的特征向量是哪个？哪个向量经过投影矩阵后不变，只有向量a是这样的了，所以可以求出特征向量。（还记得特征值和特征向量那一讲吗？特意讲了投影矩阵，它的特征值就是0和1）

那么u1=Pu0，表示将向量u0投影到线a上，因为u1就在a所在的直线上，那么Pu1=u1，因此可得uk的值就等于Pu0=(6 3 6）。（或者可以这样解释：投影矩阵Pk=P）。



假设差分方程中，矩阵并不是投影矩阵P，那么该如何求解呢？此时需要求特征值和特征向量按部就班来做。



从上式看，如果A是投影矩阵，那么λ1=λ2=0，前两项为0，后一项为c3x3。

题2：将给定点拟合到一条过原点的直线y=Dt。求最优的D。



复习投影矩阵。将向量b(4 5 8)投影到了A的列空间，可得到：



题3：有两个向量a1=(1 2 3), a2=(1 1 1)，找到这两个向量所在平面的一组正交基。（如果找到一组，旋转一下又可以找到另外一组，格拉姆-施密特方法可以从一个向量做起）



题4：4×4的矩阵A，有四个特征值λ1,λ2,λ3,λ4。

1）什么样的特征值可满足矩阵可逆？特征值都不等于0，零意味着零空间里有非零向量。

2）A逆的行列式为多少？A的逆的特征值相乘就是它的行列式，A的逆的特征值等于A的特征值的倒数。



3）A+I的迹是多少？把A+I的特征值相加就等于它的迹了。A+I的特征值等于A的特征值加1,



题5：已知A4，求Dn=det(An)。使用代数余子式。Dn到底是收敛还是越来越大还是周期性的改变。



找出递归式，初始值D1=1，D2=0



求Dn，可通过求特征值特征向量来求得。特征值求得是共轭复数。



λ的六次方等于1，Dn是周期性的变化。矩阵的6次方的特征值为1.

题6：如下矩阵


 


1）A4投影到A3的列空间的投影矩阵，很容易想到的方法：P=A(ATA)-1AT，可得投影矩阵。

2）求A3的特征值和特征向量。

3）求A4的投影矩阵（即投影到A4列空间的投影矩阵）。因为A4的行列式不等于0，所以A4可逆，列空间为整个空间，所以投影矩阵为I.