线性代数导论20——克莱姆法则、逆矩阵、体积

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
第二十课时：克莱姆法则、逆矩阵、体积

本文介绍行列式的应用，行列式用一个数值就包含所有信息。

先回顾上讲的内容：行列式的代数余子式表达式：



求逆矩阵公式

A的求逆矩阵公式：A-1=（1/detA）*CT 。（C是由代数余子式组成的矩阵）



CT是原矩阵A的伴随矩阵，伴随矩阵11元素就是原矩阵11元素的代数余子式，由于转置的缘故，伴随矩阵12的元素是原矩阵21元素的代数余子式。

公式的证明：

只需检验A乘以它的上述公式的逆是否等于单位阵，即：ACT=（detA）I， ACT的计算结果是，主对角线上的元素均为detA（因为元素和代数余子式都来自同一行，根据行列式的代数余子式公式可得），非对角线上的元素均为0（矩阵某行乘以另一行的代数余子式结果为0，比如A的第一行乘以最后一行的代数余子式，这相当于（比方）求一个特殊矩阵的行列式，特殊矩阵的第一行和最后一行相等（某两行相等的特殊矩阵的行列式必为0）。）。



（我们记得以前矩阵的逆是如何求的，通常把矩阵变为增广矩阵，然后将左边变为单位矩阵，右边就变为了逆矩阵）

克莱姆法则Cramer RULE



观察CTb，CT中每行代数余子式乘以向量b中的数字，让人联想这是在求某个矩阵B的行列式，如下：



B1矩阵是一个：用向量b替换矩阵A的第一列得到的矩阵，因为这样的矩阵求行列式将得到CTb第一行乘以b的值（CTb的第一行是A矩阵的第一列的代数余子式，这个值正是detB1）。Bj是一个用向量b替换矩阵A的第j列得到的矩阵。

克莱姆法则的作用主要是提供一种代数表达式，而不是一种算法，不建议使用它来计算。

通过行列式求体积

行列式的值等于某几何体的体积

待证明命题：行列式的绝对值等于一个箱子（平行N面体）的体积。3×3的行列式是三维空间箱子（平行6面体，由三条边觉得箱子的样子、体积）的体积。



当A=I时，命题明显成立，箱子是单位立方体。

当A=Q为正交矩阵（非I时）时，三个列向量是标准正交基。箱子通过行向量还是列向量定义都无所谓，因为转置的行列式不变，正交矩阵对于的箱子是什么形状？箱子还是单位立方体，它和单位矩阵的立方体的区别是它被旋转了（立方体的形状大小不变，只是位置随着标准正交基的位置旋转了）。QTQ=I，detQTQ=detI=detQT *
detQ = (detQ)2 = 1，因此detQ=1或-1。

当箱子为长方体时，假设是由两个单位立方体组成的，此时体积是原来的2倍，对于矩阵A的第一行是原来的两倍，根据行列式性质3(1)，那么行列式也是原来的2被。

性质3(2)告诉我们，这个性质是推出普通的箱子的体积也是行列式的绝对值的线索，有待证明。



对于2维平面，平行四边形的面积为行列式。三角形的面积就为它的一半。



假设三角形的顶点并不在原点上，它的面积如下，求如下矩阵的行列式时，可以先对它进行消元将前两行变成：

(x2-x1，y2-y1，0)，(x3-x2，y3-y2，0)，那么这个行列式就是求第三列的代数余子式，实际上就是求矩阵(x2-x1，y2-y1 ),(x3-x2，y3-y2)的行列式。这两个向量表示这两条边。