线性代数导论31——线性变换与对应矩阵

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
第三十一课时：线性变换与对应矩阵

本讲从线性变换这一概念出发，每个线性变换都对应于一个矩阵。矩阵变换的背后正是线性变换的概念。理解线性变换的方法就是确定它背后的矩阵，这是线性变换的本质

通过线性变换来描述一个投影

通过线性变换使得平面内的一个向量变成平面内的另一个向量。T：R2—>R2，这种变换关系通常称为“映射”。

如下图：在平面中将向量v投影到直线上，T(v)就像一个函数，对某输入进行变换，结果得到一个输出。



线性变换的两大条件



特例：T(0)=0，这可以用来判断某些变换是否是线性变换。

任何一个线性组合的线性变换等于同样的线性组合，但向量变成T(v)和T(w)。

线性变换应该保证这两种运算的不变性。比如上图中的投影，假设v变成2v，那么投影到直线上的向量也会变成两倍2T(v)。

平面平移：假如平面内的所有向量，沿着某个方向平移v0，T(v)=v+v0，这不是线性变换，因为不符合以上两个条件。平面平移不是一个线性变换。




这个也不是一个线性变换。

旋转45°，存在映射关系


 


某线性变换：T(v)=Av，表示一系列线性变换。它符合线性变换的两个条件。

假设在二维平面，A是投影矩阵，那么结果就得到房子的投影，A是旋转矩阵，就得到如上图房子的旋转图。

假如A=[(1 0),(0 -1)]，那么房子会怎样变换，这是一个对角阵，x分量不变，y分量相反。得到的房子就是一个上下颠倒的房子。

假设线性变换T：R2—>R2， 输入是三维向量，输出是二维向量。将三维空间映射至二维空间。



某个线性变换对于所有的输入空间会造成什么影响？

选定输入空间中的一组基（由基向量可以生成空间中任意向量），只要确定线性变换对于基向量的影响，就可确定对整个输入空间的影响。

   T(v)=c1T(v1)+c2T(v2)+...+...cnT(vn)

every v=c1v1+c2v2+...+cnvn。

v1,v2...vn是一组标准基，可看着坐标轴，线性组合的系数c1,c2...cn就是v的坐标值。坐标源自一组基，v的坐标是一组数字，这些数字表示v由多少个基向量组成。

矩阵A表示线性变换T：Rn—>Rm，需要两组基，来分别确定输入向量的坐标和输出向量的坐标。设v1,v2,...vn为输入空间的一组基，w1,w2...wn为输出向量的一组基。

例如：确定平面内的投影矩阵所表示的线性变换

输入空间的基向量，第一个基向量就是直线上的单位向量v1，第二个基向量是垂直于该直线的单位向量v2，输出空间的基向量与输入空间的一样。

假设输入向量为v，则v=c1v1+c2v2，那么输出向量为w=c1v1。投影矩阵为[(1 0),(0 0)]。



这组基实际上都是投影矩阵的特征向量，所以得到的矩阵A是对角阵Λ。

如果以特征向量为基，可以得到对角阵Λ，对角线上都是特征值。如上例中，线性变换的特征向量分别与直线方向相同，以及垂直于直线，特征值分别是1,0。最好的坐标系由特征向量组成。

假如上例中以原始坐标系作为基，将得到不一样的投影矩阵，同样的投影，但矩阵不再是对角阵。也就是说不同的矩阵可表示同一线性变换。



如何确定矩阵A——求线性变换对应矩阵的基本方法

假设输入基和输出基分别是v1...vn和w1,...,wm

矩阵的第一列：线性变换对于第一个基向量产生怎样的影响？最直接的方法是：对v1进行线性变换，T(v1)=a11w1+a21w2+...+am1wm，这些系数a11，a21,...am1组成了矩阵的第一列。

第二列：

T(v2)=a12w1+a22w2+...+am2wm，得到矩阵的第二列。

.......

这样就可以得到变换矩阵A，A乘以输入向量可得到变换后的向量。

线性变换可以在没有坐标系的情况下进行，而矩阵用坐标来表示线性变换。

更重要的是：矩阵的逆相当于线性变换的逆。矩阵的乘积相当于线性变换的乘积。矩阵乘法也源于线性变换。

一个特别的线性变换

这个线性变换的作用是求导。三维空间到二维空间的线性变换，输入空间和输出空间的基，输入和输出如图所示。其实，求导就是线性运算。