《算法竞赛-训练指南》第二章-2.12_LA 5059

真的很喜欢这个专题，就是两个人玩的游戏专题。这里面包含的思想是非常重要的，数学味道，逻辑味道非常的浓厚。

经典的代表游戏就是Nim>游戏：游戏的描述是这样的，给你三堆火柴，你每次可以从每堆里面拿出一个，或者一个以上的，当然可以是正堆都拿走。两个人玩，每个人都是玩的最棒的。问你，怎么判断输赢？

其实对每堆求一下Nim和就可以了，也就是对所有堆求疑惑，结果为0，先手必输，否则先手必赢！

这里用SG定理可以轻松解决，首先要弄明白SG定理所描述的数学问题：SG[x] = mex(x)，代表的是，x所有的后继状态对应的SG值中，没有出现的最小非负整数。比如，后继值分别为0,1,1,3,4则SG[x] = 2。

这里的SG对于这种任意堆的组合游戏和是非常有效的解法！当然题目可以有很多种的变形！题解上，举出了非常多的变形，但是SG原理满足的条件却是一下几条：

一、两个游戏者轮流操作；

二、游戏的状态集有限，并且不管双方怎么走都不会出现以前的状态，即有限步能够结束；

三、谁不能操作谁就输了，即SG = 0，游戏就输了；

下面写出SG函数:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>
/*
*这里一定要仅仅的抓住SG的含义,再根据含义求解SG函数
*不管怎么样,vis函数必定是要的,因为要求得最小的不存在值.
*当然这里也就需要注意了,如果值的范围很大,那应该是有规律,
*就需要自己静下心来,细细的观察了.
*/

using namespace std;

const int MAXN = 100 + 11;

int SG[MAXN];

int vis[MAXN];

void init()
{
SG[1] = 0;
for (int i = 2; i < MAXN; i++)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for (int j = 1; j * 2 <= i; j++)
{
vis[SG[i - j]] = 1;
}
for (int j = 0; ; j++)
{
if (vis[j] == 0)
{
SG[i] = j;
break;
}
}
}
}

int main()
{
init();
system("pause");
return 0;
}


下面是整个问题的求解代码，这个我自己也是独立的思考了的，但是，奇数的时候思考的还是不深：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 100 + 11;

LL A[MAXN];

LL SG(LL x)
{
if (x == 1)
{
return 0;
}
if (x % 2 == 0)
{
return x / 2;
}
else
{
return SG(x / 2);
}
}

int main()
{
int T;
int N;
scanf("%d", &T);
while (T--)
{
scanf("%d", &N);
for (int i = 0; i < N; i++)
{
scanf("%lld", &A[i]);
}
LL ans = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
ans ^= SG(A[i]);
}
if (ans == 0)
{
printf("NO\n");
}
else
{
printf("YES\n");
}
}
// system("pause");
return 0;
}