The Euler function(欧拉函数)
2012-10-21 22:45
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Problem Description
The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose
you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)
Input
There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).
Output
Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)
Sample Input
3 100
Sample Output
3042
题意:输入a,b输出a~~b欧拉函数之和
题解:欧拉函数模板题
定义: 对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目;
例如: φ(8) = 4, 因为1,3,5,7均和8互质。
性质: 1. 若p是质数,φ(p)= p-1.
2. 若n是质数p的k次幂,φ(n)= (p-1)p^(k-1)
因为除了p的倍数都与n互质
3. 欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n)
根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式,因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。
E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))
= k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)
= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
打表求解
The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose
you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)
Input
There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).
Output
Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)
Sample Input
3 100
Sample Output
3042
题意:输入a,b输出a~~b欧拉函数之和
题解:欧拉函数模板题
定义: 对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目;
例如: φ(8) = 4, 因为1,3,5,7均和8互质。
性质: 1. 若p是质数,φ(p)= p-1.
2. 若n是质数p的k次幂,φ(n)= (p-1)p^(k-1)
因为除了p的倍数都与n互质
3. 欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n)
根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式,因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。
E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))
= k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)
= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;
若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);
打表求解
#include<iostream> using namespace std; __int64 phi[3000001]; int main() { int i,j; for(i=1;i<3000001;i++) ph[i]=i; for(i=2;i<3000001;i+=2) ph[i]/=2; for(i=3;i<3000001;i+=2) if(ph[i]==i) { for(j=i;j<3000001;j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1); } int a,b; __int64 sum; while(cin>>a>>b) { sum=0; for(i=a;i<=b;i++) sum+=phi; printf("%I64d\n",sum); } return 0; }
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