【博弈】威佐夫博弈poj1067 取石子游戏

最后居然能跟黄金分割搭上关系，这也太神奇了.....

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种规则下游戏是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这

种局势我们称为奇异局势。

首先列举人们已经发现的前几个奇异局势：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

通过观察发现：a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。

奇异局势有如下三条性质：

1、任何自然数都包含且仅包含在一个奇异局势中。

2、任意操作都可以使奇异局势变为非奇异局势。

3、必有一种操作可以使非奇异局势变为奇异局势。

性质1中的存在性应该很好理解，对于唯一性，因为a[k]是未在前面出现过的最小自然数。所以a[k]>a[k-1],b[k] = a[k]+k > a[k-1]+k-1 + 1 > b[k-1] > a[k-1].

即b[k] > a[k] > b[k-1] > a[k-1]。所以某个自然数不会出现多于一次的情况。

性质2,我们可以尝试游戏规则中的两种操作：如果从某一堆中取，那么a[k],b[k]中必有一个量发生变化，由性质1，则变化后的局势不可能是奇异局势。

如果同时从两堆中取同样多的物品，但由于其差（b[k]-a[k]）不会改变，所以它变化后的局势也不可能是奇异局势。

性质3，需要分多种情况考虑，假设面对的局势是(a,b),(我们规定a<=b)

1.若a=b，则同时从两堆取走a个，局势变成(0,0)的奇异局势.

2.若a是某个奇异局势的a[k]，且b>b[k],则从b中取出b-b[k]个，局势变成(a[k],b[k])的奇异局势.

3.若a是某个奇异局势的a[k]，且b<b[k],两堆之差为b-a个，同时从两堆中取出a[k]-a[b-a]个，局势变成(a[b-a],b[b-a])的奇异局势.

4.若b是某个奇异局势的b[k]，且a>a[k],则从a中取出a-a[k]个，局势变成(a[k],b[k])的奇异局势.

5.若b是某个奇异局势的b[k]，且a<a[k],则一定有a=b[j](j<k).此时从b中取出b-a[j]个，局势变成(a[j],b[j])的奇异局势.

由此，性质3得证。

可以看出，如果两人都采取正确的操作，那么对于非奇异局势，先拿者必胜，对于奇异局势，先拿者必败。

对于奇异局势，有如下公式：

a[k]=[k*(1+√5)/2]，b[k]=a[k]+k。(k=0,1,2......，[]表示取整）

有趣的是，式中的(1+√5)/2正是黄金分割比例。

[cpp] view
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#include <stdio.h>

#include <math.h>

const double Gsr=(1+sqrt(5.0))/2;

void swap(int &a,int &b)

{

int t=b;

b=a;

a=t;

}

int main()

{

int a,b;

while(~scanf("%d%d",&a,&b))

{

if(a>b)

swap(a,b);

if(a == (int)(Gsr*(b-a))) //如果是奇异局势，先拿者输

puts("First Lose");

else

puts("First Win");

}

return 0;

}