动态规划背包问题自己的理解：

01背包问题的最优子问题是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

已知前i-1件商品的最优化结果；那么在添加第i件商品时的最优化结果可以由上式表示。

多重背包 ：转化为01问题

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
if cost*amount>=V
CompletePack(cost,weight)
return
integer k=1
while k<amount
ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
amount=amount-k
k=k*2
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

问题的核心在于：利用贪心的思想：我们在找权值最大的物品weight/cost，在 v > k*weight 的时候，如果可以选择3个 就可以选择1个和两2个，问题在于怎么理解以下情况：可以用2个，伪代码中如何体现。 有f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}知 v 可以用2个那么v-c[i]必然一个也不能用。可知结论正确。对于v可以用数量可以由指数用最少的数表示出来。

其实是这么理解：有k件物品可以分为 1， 2 ，4 , ... , 2^m ,k -2^m.转化为这样重量的01背包问题。