动态规划-背包问题（状态转换）

动态规划算法最经典的例子，背包问题浅述：

背包问题状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

思路：当向背包中加入第i个物品时，当背包的剩余重量不足以再加入物品时，此时背包的价值等于加入i-1时的价值；当足以加入第i个物品时，背包价值等于在第i-1个物品的基础上，重量减去第i个物品的重量，同时价值加上第i个物品的价值。

动态规划和分治法的区别：

分治法、动态规划都是将大问题转化为小问题，而分治法是将大问题转化为子问题，然后迭代或递归完成问题，动态规划是转化为前一个数级的问题，然后做逻辑处理完成问题。

定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；

其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

　　　　由此可以得出递推关系式：

1) j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)
　　　　2) j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

可以根据上述转换方程计算表格的value做检验。