背包问题再理解
2014-12-22 19:03
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菜鸟都能理解的0-1背包问题的空间优化
如果你不知道什么叫做0-1背包问题,下面是0-1背包问题的简单描述假设有n件物品
每件物品的体积为w1, w2……wn
相对应的价值为 v1, v2.……vn。
01背包是在n件物品取出若干件放在空间为total_weight的背包里,使得背包的总体积最大
关于0-1背包问题没有优化版本,请看
上面的核心代码是下面这一段
for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= total_weight; j++) { if (w[i] > j) { c[i][j] = c[i-1][j]; } else { if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) { c[i][j] = c[i-1][j]; } else { c[i][j] = v[i] + c[i-1][j-w[i]]; } } } }
注意到状态转移方程 c[i][j] = max{c[i-1][j],
c[i-1][j-w[i]]+v[i]}
每一次c[i][j]改变的值只与c[i-1][x] {x:1...j} 【我的理解:x是范围是 1 到j】
有关c[i-1][x]是前一次i循环保存下来的值,
因此,可以将c缩减成一维数组
状态转移方程转换为 c[j] = max(c[j], c[j-w[i]]+v[i]);
并且,我们注意到状态转移方程,每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的,而不是通过c[i][j-w[i]]
因此,j的扫描顺序应该改成从大到小
否则,第i次求c数组,必然先求的c[j-w[i]]的值(即c[i][j-w[i]]),再求c[j](即c[i][j])的值
由于j递增,那么状态方程就成为下面这个样子了
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-w[i]]+v[i])显然不符合题意
【我的理解:每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的 ,
意思是 在 j 容量下放i 与不放i ,那个价值比较大。
c[i-1][j-w[i]] 表示在j的容积下准备放 i 物品】
j的扫描顺序应该改成从大到小,
所以,上面的代码变为
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = total_weight; j >= 1; j--) {
if (w[i] > j) {
c[j] = c[j]; //表示第i次与第i-1次相等,这里因为c[j]本来就保存这上一次的值,所以这里不需变化
//而二维数组的写法是 c[ i ] [ j ] = c [ i-1 ] [ j ] ; 保存上一次的值
} else {
//说明第i件物品的重量小于背包的重量,所以可以选择第i件物品放还是不放
if (c[j] > v[i]+c[j-w[i]]) { // 二维数组:if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]])
c[j] = c[j]; // 二维数组:c[i][j] = c[i-1][j];
不放入 i
}
else {
c[j] = v[i] + c[j-w[i]]; //二维数组:c[i][j] = v[i] + c[i-1][j-w[i]];
放入i
}
}
}
}
【我的理解:c[ j - w[i] ] 与 c[i-1][ j-w[i] ] 的区别是:
首先是 "j",前者是处理逆容量,后者是处理当前容量。
后者表示当前容量下放入i 前i的价值(value),前者表示
逆容量 - i的容量(费用)的价值
后者 + v[i] ,前者 + v[i] ,两个都加上i的价值,
然后
后者:【当前容量下放入i 前i的价值(value)】 +
v[i]【i的价值】 与 【当前容量的不放入i的价值】 【 compare 】
c[i-1][j] 与 v[i]+c[i-1][j-w[i]] 比较
前者:【逆容量 - i占用的容量(费用) 最后在此基础上得出的价值】 + v[i]【i的价值】 与
【逆容量的价值】 【 compare 】
c[j] 与 v[i]+c[j-w[i]] 比较(意思是假设逆容量不包括i占用容量的时候的价值,这样再加上i的价值,这个时候再与
逆容量的价值 比较,
如果 小于的话,表示不放入i 更有价值;如果大于的话,表示放入i 更有价值。)
c[j] -
v[i] > c[j-w[i]] 放入i,说明容量不匹配,说明c[j] 价值很大,反之当前容量的价值很小
一个逆的比较,一个是顺的比较,两者的目的是一样的,都是为了绝对放不放i, 但是又有区别,区别在空间上发生了变化,实现
同样目标尝试逆的方法和顺的方法,可以发现有不同的效果。
】
最后我们可以做下优化,把不必要的语句去掉即可完成优化
for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = total_weight; j >= w[i]; j--) if (c[j] <= v[i] + c[j-w[i]]) c[j] = v[i] + c[j-w[i]];
如此优美的代码简直无法想象!
注意,
空间优化版本最后是求解不出来最优解序列的,
但是能求出最优解,也就是最大价值
背包01 问题的 二维数组 和 空间优化后一维数组 的实现
空间优化的输出
c[10]的值4
c[9]的值4
c[8]的值4
c[7]的值4
c[6]的值4
c[5]的值4
c[4]的值4
c[3]的值4
c[2]的值0
c[1]的值0
c[10]的值9
c[9]的值9
c[8]的值9
c[7]的值9
c[6]的值5
c[5]的值5
c[4]的值5
c[3]的值4
c[2]的值0
c[1]的值0
c[10]的值11
c[9]的值11
c[8]的值10
c[7]的值9
c[6]的值6
c[5]的值6
c[4]的值5
c[3]的值4
c[2]的值0
c[1]的值0
总的价值为: 11
------------------------
二维数组的 输出
c[1][1]的值0
c[1][2]的值0
c[1][3]的值4
c[1][4]的值4
c[1][5]的值4
c[1][6]的值4
c[1][7]的值4
c[1][8]的值4
c[1][9]的值4
c[1][10]的值4
c[2][1]的值0
c[2][2]的值0
c[2][3]的值4
c[2][4]的值5
c[2][5]的值5
c[2][6]的值5
c[2][7]的值9
c[2][8]的值9
c[2][9]的值9
c[2][10]的值9
c[3][1]的值0
c[3][2]的值0
c[3][3]的值4
c[3][4]的值5
c[3][5]的值6
c[3][6]的值6
c[3][7]的值9
c[3][8]的值10
c[3][9]的值11
c[3][10]的值11
需要放入的物品如下
flag[1]的值32767
flag[2]的值1
2
重量为4,价值为5
flag[3]的值1
3
重量为5,价值为6
总的价值为: 11
--------------------------------------------
观察其特征: 结果其实是一样的,只不过 一维数组 是倒着输出。!
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