算法导论16.2-2--动态规划（0-1背包问题）

转载出处：http://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/46572285

背包问题

小偷发现了n个商品，第i个商品重量为wi,价值为vi。小偷希望尽量拿走价值高的商品，但是他的背包只能容纳W重的商品。求如何取舍这些商品？ 

由于对一个商品，要么被拿走要么不被拿走，所以被称为0-1背包问题。 

我们如果采取枚举法进行比较，将会有2n个情况，算法复杂度与n呈指数关系。 

下面分析背包问题的性质：

动态规划

最优子结构

令xi=1,表示第i个商品被拿走，xi=0,表示第i个商品不被拿走。 

则问题变为求V=max∑ni=1xivi约束条件为∑ni=1xiwi≤W,求最大值的x1,x2,x3..xn解； 

对于第k个商品，决定是否装包，需要进行比较，如果拿装包即xk=1,求子问题V′=max∑ni=1xivi(i≠k),约束条件为∑ni=1xiwi(x≠k)≤W−wk。如果不装包，xk=0，V′′=max∑ni=1xivi(i≠k),约束条件不变∑ni=1xiwi(x≠k)≤W 。比较V′与V′′大小。

自底向上求解方案

算法复杂度为O(nW) 

令c[i][j]表示第1个商品到第i个商品中，背包容量为j的情况下，可获得的最大价值；

决定是否选择商品i的方案，比较选与不选的获得的价值 

c[i][j] = max(c[i-1][j] ,v[i]+c[i-1][j-w[i]]) 

例：

int w[]={0,3,6,3,8,6};//商品重量 第一数值为0，为了方便编程
int v[]={0,4,6,6,12,10};//商品价值 第一数值为0，为了方便编程
int W = 10; //背包容量
int c[6][11]={0};//c[i][j]表示在商品1到i中，背包容量为j时，最大价值

1
2
3
4

采用自底向上求解方案，先填写第一行c[1][j]，此时只有商品1可选，当j<w[1]时，背包容量小于商品1的大小，所以c[1][j]
=0,当j≥w[1]时，背包内价值即为商品1的价值c[1][j]
= v[1]=4; 


 

填写第二行：c[2][j],此时可选商品为1和2 。当j<w[2],商品2一定装不了，但可能装下商品1，所以即c[2][j]
= c[1][j],当j≥w[2],此时可以装下商品2，如当j=6时，如果选择商品2，那么此时背包容量为j-w[2]=0，留给商品1用，而c[1][0]=0,所以背包价值为c[2][6]=v[2]+c[1][0];如果不选商品2，则c[2][6]=c[1][6]=4,比较大小得到，应该把商品2装包。即c[2][6]=v[2]+c[1][0]=6+0=6； 

又如:当j=10时，如果选择商品2，则背包容量还剩j-w[2]=4;而c[1][4]=4,此时背包总价值为c[2][10]=v[2]+c[1][4]=6+4=10;如果不选商品2，c[2][10] =c[1][10]=4;选取最大值即c[2][10]=10； 


 

按照上述方式自底向上填写表格： 

构造最优解

按照上面描述：如果c[i][j] = c[i-1][j],表明商品i没有被选择；否则就被选择 

从表格的右下端开始，即c[5][10]，回溯。 

如c[5][10]≠c[4][10]则商品5被选择，而此时背包容量j-w[5]=4;继续向上回溯，比较c[4][4]=c[3][4],表明商品4不选。回溯到第一个商品时，如果c[1][j]≠0,表明被装包；

完整代码

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CSDN 勿在浮沙筑高台 http://blog.csdn.net/luoshixian099 算法导论--动态规划（0-1背包问题）
2015年6月19日
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#include <iostream>
using namespace std;
#define max(a,b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
int w[]={0,3,6,3,8,6};//商品重量
int v[]={0,4,6,6,12,10};//商品价值
int W = 10; //背包容量
int c[6][11]={0};//c[i][j]表示在商品1到i中，背包容量为j时，最大价值
void Package0_1(int w[],int v[],int W,int n,int c[][11])//
{

for(int i=1;i<=n;i++)          //逐行填表c[i][j]
{
for (int j=1;j<=W;j++)
{
if ( i == 1)       //填写第1行时，不参考其他行
{
if (j < w[i])
c[i][j]=0;
else
c[i][j] = v[i];
}

else
{
if ( j < w[i])  //背包容量小于商品i的重量，商品i一定不选
{
c[i][j] = c[i-1][j];
}
else
{
c[i][j] = max(c[i-1][j],v[i]+c[i-1][j-w[i]]);//比较选与不选商品i的背包总价值大小
}
}
}
}

for(int m =1;m<6;m++)
{
for (int n=0;n<11;n++)
{
cout<<c[m]
<<"  ";
}
cout<<endl;
}

}
void Print_Package0_1(int c[][11])  //构造解
{
int i=5;
int j=10;
cout<<"总价值为"<<c[i][j]<<endl;
while(i!=1)
{
if ( c[i][j] == c[i-1][j] )
{
cout<<"商品"<<i<<"不选"<<endl;
}
else
{
cout<<"商品"<<i<<"选"<<endl;
j = j - w[i];
}
i--;
}

if ( c[i][j] == 0)   //
{
cout<<"商品"<<i<<"不选"<<endl;
}
else
{
cout<<"商品"<<i<<"选"<<endl;
}

}
int main()
{

Package0_1(w,v,W,5,c);
Print_Package0_1(c);
return 0;
}

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