300. 最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence）

• 题解
• 动态规划
• 复杂度分析
• Python
• Java(待完成)

• 复杂度分析
• Python
• Java(待完成)

题解

动态规划

dp[i]dp[i]dp[i]表示到当前位置的最长上升子序列的长度。

1. 特判，若数组为空，返回0

2. 初试化dp=[1,1,⋯ ,1]dp=[1,1,\cdots,1]dp=[1,1,⋯,1]，长度为nnn，dp[i]=1dp[i]=1dp[i]=1表示每一位都可以为长度为1的最长上升子序列。

3. 遍历dpdpdp，对于iii，遍历区间[1,n)[1,n)[1,n)：

   遍历当前位置前的所有位置jjj，遍历区间[0,i)[0,i)[0,i)： 若nums[i]>nums[j]nums[i]>nums[j]nums[i]>nums[j]，表示满足上升的条件。此时，更新当前位置的最长上升子序列的长度：dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

4. 返回dpdpdp中的最大值。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n2)O(n^{2})O(n2)
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

Python

class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if(not nums):
return 0
n=len(nums)
dp=[1]*n
for i in range(n):
for j in range(i):
if(nums[i]>nums[j]):
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
return max(dp)

Java(待完成)

动态规划+二分查找

定义tailtailtail数组，tail[i]tail[i]tail[i]保存遍历过程中长度为i+1i+1i+1的最长上升子序列的最小尾元素。
tailtailtail本身要求严格递增。
最终tailtailtail的长度就是整个数组最长上升子序列的长度。
解释：
这里长度等于最长上升子序列的长度，但是tailtailtail不一定为最长上升子序列。

1. 特判，若数组长度小于222，返回数组长度。
2. 初始化tail=[nums[0]]tail=[nums[0]]tail=[nums[0]]，表示目前为止长度为1的最长上升子序列的最小尾元素为nums[0]nums[0]nums[0]
3. 遍历数组，对于iii，遍历区间[1,n)[1,n)[1,n)：
   若nums[i]>tail[−1]nums[i]>tail[-1]nums[i]>tail[−1]，tail[−1]tail[-1]tail[−1]表示最后一个元素。若当前的数组元素比tailtailtail的最后一个元素大，将其加入tailtailtail。跳过后续步骤。
   • 若不满足，则在tailtailtail中找到第一个比他大的元素，替换掉。使用二分查找，查找替换位置。
   • 定义左界l=0l=0l=0，右界r=len(tail)−1r=len(tail)-1r=len(tail)−1
   • 进入循环，循环条件l<=rl<=rl<=r： 定义mid=(l+r)//2mid=(l+r)//2mid=(l+r)//2
   • 若nums[i]<=tail[mid]nums[i]<=tail[mid]nums[i]<=tail[mid]，更新右界：r=mid−1r=mid-1r=mid−1
   • 否则，l=mid+1l=mid+1l=mid+1
4. 替换，tail[l]=nums[i]tail[l]=nums[i]tail[l]=nums[i]
5. 返回tailtailtail的长度。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlog(n))O(nlog(n))O(nlog(n))
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

Python

class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if(not nums):
return 0
n=len(nums)
if(n<2):
return n
tail=[nums[0]]
for i in range(1,n):
if(nums[i]>tail[-1]):
tail.append(nums[i])
continue
l=0
r=len(tail)-1
while(l<=r):
mid=(l+r)//2
if(tail[mid]>=nums[i]):
r=mid-1
else:
l=mid+1
tail[l]=nums[i]
return len(tail)

Java(待完成)

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