leetcode（300）—— Longest Increasing Subsequence（最长递增子序列）

参考 Python 解法： 动态规划 —— 最长递增子序列（LIS）

原题位置：Longest Increasing Subsequence | LeetCode OJ

题目的说明：

严格递增；

子序列不要求连续；

解法 1，O(n2)

class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int res = 1;
for (int i = 1; i < nums.size(); ++i){
// 每次外部循环，确定以当前位置为末尾元素的最长子序列；
for (int j = 0; j < i; ++j){
if (nums[j] < nums[i]){
dp[i] = max(dp[i], 1+dp[j]);
// 通过遍历 j 实现对 dp[i] 的更新
}
}
res = max(res, dp[i]);
}
return res;
}
};

解法2：O(nlogn)

思路是，我们先建立一个数组 ends，把首元素放进去，然后比较之后的元素，

如果遍历到的新元素比ends数组中的首元素小的话，替换首元素为此新元素，

如果遍历到的新元素比ends数组中的末尾元素还大的话，将此新元素添加到ends数组末尾(注意不覆盖原末尾元素)。

如果遍历到的新元素比ends数组首元素大，比尾元素小时，此时用二分查找法找到第一个不小于此新元素的位置，覆盖掉位置的原来的数字，

以此类推直至遍历完整个 nums 数组，此时 ends 数组的长度就是我们要求的 LIS 的长度，特别注意的是 ends 数组的值可能不是一个真实的LIS，比如若输入数组nums为 {4, 2， 4， 5， 3， 7}，那么算完后的ends数组为{2， 3， 5， 7}，可以发现它不是一个原数组的LIS，只是长度相等而已，千万要注意这点。

class Solution(object):
def lengthOfLIS(self, nums):
n = len(nums)
if n == 0: return 0
ends = [nums[0]]
for i in range(1, n):
if nums[i] < ends[0]:
ends[0] = nums[i]
elif nums[i] > ends[-1]:
ends.append(nums[i])
else:
lo, hi = 0, len(ends)
while lo < hi:
mi = (lo + hi)//2
if nums[i] > ends[mi]: lo = mi + 1
else: hi = mi
ends[hi] = nums[i]
return len(ends)

解法 3：思路更为清晰的二分查找

跟上面那种方法很类似，思路是先建立一个空的dp数组，然后开始遍历原数组，对于每一个遍历到的数字，我们用二分查找法在dp数组找第一个不小于它的数字，如果这个数字不存在，那么直接在dp数组后面加上遍历到的数字，如果存在，则将这个数字更新为当前遍历到的数字，最后返回dp数字的长度即可，注意的是，跟上面的方法一样，特别注意的是dp数组的值可能不是一个真实的LIS。参见代码如下：

class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
vector<int> dp;
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i){

int lo = 0, hi = dp.size();
while (lo < hi){
int mi = (lo + hi)/2;
if (dp[mi] < nums[i]) lo = mi + 1;
else hi = mi;
}
if (hi == dp.size())
dp.push_back(nums[i]);
else dp[hi] = nums[i];
}
return dp.size();
}
};

4. 借助标准库 STL 中的算法实现二分查找部分

lower_bound 返回返回序列中第一个不小于某值的元素位置；

class Solution{
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums){
vector<int> dp;
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i){
auto it = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), nums[i]);
if (it == dp.end())
dp.push_back(nums[i]);
else
*it = nums[i];
}
return dp.size();
}
};