机器学习初级算法梳理（三)

基本信息：

1、信息
引用香农的话，信息是用来消除随机不确定性的东西，则某个类（xi）的信息定义如下:

2、信息熵
信息熵便是信息的期望值，可以记作：

熵只依赖X的分布，和X的取值没有关系，熵是用来度量不确定性，当熵越大，概率说X=xi的不确定性越大，反之越小，在机器学期中分类中说，熵越大即这个类别的不确定性更大，反之越小，当随机变量的取值为两个时，熵随概率的变化曲线.
3. 条件熵
X给定条件下Y的条件分布的熵对X的数学期望，在机器学习中为选定某个特征后的熵，公式如下：

4. 信息增益
信息增益在决策树算法中是用来选择特征的指标，信息增益越大，则这个特征的选择性越好，在概率中定义为：待分类的集合的熵和选定某个特征的条件熵之差（这里只的是经验熵或经验条件熵，由于真正的熵并不知道，是根据样本计算出来的），公式如下：

决策树的不同分类算法

1.ID3 算法是一种贪心算法，用来构造决策树。ID3算法起源于概念学习系统(CLS)，以信息熵的下降速度为选取测试属性的标准，即在每个节点选取还尚未被用来划分的具有最高信息增益的属性作为划分标准，然后继续这个过程，直到生成的决策树能完美分类训练样例。


意思是一个变量的变化情况可能越多，那么它携带的信息量就越大。

而这里的n就是类别的总数，此时分类系统的熵就可以表示为

2.C4.5算法对ID3改进如下，
(1)不能处理连续特征。
(2)结果容易偏向取值多的。
换一种度量方法。选用新的属性选择标准–信息增益和特征熵的比值。
(3)缺失值处理。
宁缺毋滥。先将他们划入所有分支。
(4)过拟合问题
C4.5还提供了决策树与等价规则集的转换功能，便于人更好的理解。

C4.5生成算法与ID3算法相似，但是C4.5算法在生成过程中用信息增益比来选择特征

3.CART － Classification and Regression Trees
分类与回归树，是二叉树，可以用于分类，也可以用于回归问题，最先由 Breiman 等提出。分类树的输出是样本的类别， 回归树的输出是一个实数。
CART算法有两步：
决策树生成和剪枝。
决策树生成：递归地构建二叉决策树的过程，基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量大；
自上而下从根开始建立节点，在每个节点处要选择一个最好的属性来分裂，使得子节点中的训练集尽量的纯。
不同的算法使用不同的指标来定义"最好"：
分类问题，可以选择GINI，双化或有序双化；
回归问题，可以使用最小二乘偏差（LSD）或最小绝对偏差（LAD）。
决策树剪枝：用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树，这时损失函数最小作为剪枝的标准。
这里用代价复杂度剪枝 Cost-Complexity Pruning(CCP)

回归树原理：

决策树实际上是将空间用超平面进行划分的一种方法，每次分割的时候，都将当前的空间一分为二， 这样使得每一个叶子节点都是在空间中的一个不相交的区域，在进行决策的时候，会根据输入样本每一维feature的值，一步一步往下，最后使得样本落入N个区域中的一个（假设有N个叶子节点）。
一个回归树对应着输入空间（即特征空间）的一个划分以及在划分单元上的输出值。分类树中，我们采用信息论中的方法，通过计算选择最佳划分点。而在回归树中，采用的是启发式的方法。假如我们有n个特征，每个特征有si(i∈(1,n))个取值，那我们遍历所有特征，尝试该特征所有取值，对空间进行划分，直到取到特征j的取值s，使得损失函数最小，这样就得到了一个划分点。公式如下：

决策树防止过拟合手段.

剪枝是一个简化过拟合决策树的过程。有两种常用的剪枝方法：

1.先剪枝（prepruning）： 通过提前停止树的构建而对树“剪枝”，一旦停止，节点就成为树叶。该树叶可以持有子集元组中最频繁的类；

先剪枝的方法

有多种不同的方式可以让决策树停止生长，下面介绍几种停止决策树生长的方法：

限制决策树的高度和叶子结点处样本的数目

1.定义一个高度，当决策树达到该高度时就可以停止决策树的生长，这是一种最为简单的方法；

2.达到某个结点的实例具有相同的特征向量，即使这些实例不属于同一类，也可以停止决策树的生长。这种方法对于处理数据中的数据冲突问题非常有效；

3.定义一个阈值，当达到某个结点的实例个数小于该阈值时就可以停止决策树的生长；

4.定义一个阈值，通过计算每次扩张对系统性能的增益，并比较增益值与该阈值的大小来决定是否停止决策树的生长。

2.后剪枝（postpruning）： 它首先构造完整的决策树，允许树过度拟合训练数据，然后对那些置信度不够的结点子树用叶子结点来代替，该叶子的类标号用该结点子树中最频繁的类标记。后剪枝的剪枝过程是删除一些子树，然后用其叶子节点代替，这个叶子节点所标识的类别通过大多数原则(majority class criterion)确定。所谓大多数原则，是指剪枝过程中, 将一些子树删除而用叶节点代替,这个叶节点所标识的类别用这棵子树中大多数训练样本所属的类别来标识,所标识的类称为majority class .相比于先剪枝，这种方法更常用，正是因为在先剪枝方法中精确地估计何时停止树增长很困难。

模型评估

自助法（bootstrap）：
训练集是对于原数据集的有放回抽样，如果原始数据集N，可以证明，大小为N的自助样本大约包含原数据63.2%的记录。当N充分大的时候，1-（1-1/N）^(N) 概率逼近 1-e^(-1)=0.632。抽样 b 次，产生 b 个bootstrap样本，则，总准确率为（accs为包含所有样本计算的准确率）：

准确度的区间估计：
将分类问题看做二项分布，则有：
令 X 为模型正确分类，p 为准确率，X 服从均值 Np、方差 Np（1-p）的二项分布。acc=X/N为均值 p，方差 p（1-p）/N 的二项分布。acc 的置信区间：

sklearn参数详解，Python绘制决策树

参数：
特征选择标准criterion；
DecisionTreeClassifier分类树：gini代表基尼系数；entropy：代表信息增益。一般说使用默认的基尼系数，即CART算法。
DecisionTreeRegressor回归树：“mse"均方差；“mae”：和均值之差的绝对值之和。默认的"mse”。
特征划分点选择标准splitter：“best”：默认，特征的所有划分点中找出最优的划分点，适合样本量不大的时候；“random”：随机的在部分划分点中找局部最优的划分点，样本数据量非常大，推荐"random"

划分时考虑的最大特征数max_features：可以使用很多种类型的值，默认是"None",意味着划分时考虑所有的特征数；如果是"log2 log2log2"意味着划分时最多考虑log2N log2Nlog2N个特征；如果是"sqrt"或者"auto"意味着划分时最多考虑N−−√N个特征。如果是整数，代表考虑的特征绝对数。如果是浮点数，代表考虑特征百分比，即考虑（百分比xN）取整后的特征数。其中N为样本总特征数。

一般来说，如果样本特征数不多，比如小于50，我们用默认的"None"就可以了，如果特征数非常多，我们可以灵活使用刚才描述的其他取值来控制划分时考虑的最大特征数，以控制决策树的生成时间。

决策树最大深max_depth：决策树的最大深度，默认可以不输入，如果不输入的话，决策树在建立子树的时候不会限制子树的深度。一般来说，数据少或者特征少的时候可以不管这个值。如果模型样本量多，特征也多的情况下，推荐限制这个最大深度，具体的取值取决于数据的分布。常用的可以取值10-100之间。

内部节点再划分所需最小样本数min_samples_split：这个值限制了子树继续划分的条件，如果某节点的样本数少于min_samples_split，则不会继续再尝试选择最优特征来进行划分。 默认是2.如果样本量不大，不需要管这个值。如果样本量数量级非常大，则推荐增大这个值。我之前的一个项目例子，有大概10万样本，建立决策树时，我选择了min_samples_split=10。可以作为参考。

叶子节点最少样本数min_samples_leaf：这个值限制了叶子节点最少的样本数，如果某叶子节点数目小于样本数，则会和兄弟节点一起被剪枝。 默认是1,可以输入最少的样本数的整数，或者最少样本数占样本总数的百分比。如果样本量不大，不需要管这个值。如果样本量数量级非常大，则推荐增大这个值。之前的10万样本项目使用min_samples_leaf的值为5，仅供参考。

叶子节点最小的样本权重和min_weight_fraction_leaf：这个值限制了叶子节点所有样本权重和的最小值，如果小于这个值，则会和兄弟节点一起被剪枝。 默认是0，就是不考虑权重问题。一般来说，如果我们有较多样本有缺失值，或者分类树样本的分布类别偏差很大，就会引入样本权重，这时我们就要注意这个值了。

最大叶子节点数max_leaf_nodes：通过限制最大叶子节点数，可以防止过拟合，默认是"None”，即不限制最大的叶子节点数。如果加了限制，算法会建立在最大叶子节点数内最优的决策树。如果特征不多，可以不考虑这个值，但是如果特征分成多的话，可以加以限制，具体的值可以通过交叉验证得到。

类别权重class_weight：

指定样本各类别的的权重，主要是为了防止训练集某些类别的样本过多，导致训练的决策树过于偏向这些类别。这里可以自己指定各个样本的权重，或者用“balanced”，如果使用“balanced”，则算法会自己计算权重，样本量少的类别所对应的样本权重会高。当然，如果你的样本类别分布没有明显的偏倚，则可以不管这个参数，选择默认的"None"
不适用于回归树
节点划分最小不纯度min_impurity_split：这个值限制了决策树的增长，如果某节点的不纯度(基尼系数，信息增益，均方差，绝对差)小于这个阈值，则该节点不再生成子节点。即为叶子节点 。

数据是否预排序presort：这个值是布尔值，默认是False不排序。一般来说，如果样本量少或者限制了一个深度很小的决策树，设置为true可以让划分点选择更加快，决策树建立的更加快。如果样本量太大的话，反而没有什么好处。

代码：

from itertools import product
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
# 仍然使用自带的iris数据
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, [0, 2]]
y = iris.target
# 训练模型，限制树的最大深度4
clf = DecisionTreeClassifier(max_depth=4)
#拟合模型
clf.fit(X, y)
# 画图
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.1),
np.arange(y_min, y_max, 0.1))
Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.4)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, alpha=0.8)
plt.show()