bzoj3143: [Hnoi2013]游走【概率dp+高斯消元】
2018-03-19 12:06
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Description
一个无向连通图,顶点从1编号到N,边从1编号到M。小Z在该图上进行随机游走,初始时小Z在1号顶点,每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这
4000
条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。
现在,请你对这M条边进行编号,使得小Z获得的总分的期望值最小。
Input
第一行是正整数N和M,分别表示该图的顶点数 和边数,接下来M行每行是整数u,v(1≤u,v≤N),表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10,100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。Output
仅包含一个实数,表示最小的期望值,保留3位小数。Sample Input
3 32 3
1 2
1 3
Sample Output
3.333HINT
边(1,2)编号为1,边(1,3)编号2,边(2,3)编号为3。解题思路:
首先贪心是显然的:让期望通过次数多的边编号小。那如何算一条边的期望呢?
先算点的期望f[i]f[i],那么:
g[e]=f[x]/du[x]+f[y]/du[y],x≠n且y≠ng[e]=f[x]/du[x]+f[y]/du[y],x≠n且y≠n
g[e]=f[x(y)]/du[x(y)],x(y)=ng[e]=f[x(y)]/du[x(y)],x(y)=n
点的期望列方程用高斯消元算:
f[n]=1;f[n]=1;
f[1]=∑j≠n,j−>11deg[j]f[j]+1;f[1]=∑j≠n,j−>11deg[j]f[j]+1;
f[i]=∑j≠n,j−>i1deg[j]f[j];f[i]=∑j≠n,j−>i1deg[j]f[j];
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int getint() { int i=0,f=1;char c; for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar()); if(c=='-')f=-1,c=getchar(); for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0'; return i*f; } const int N=505,M=250000; int n,m,X[M],Y[M],du ; double a ,f ,g[M],ans; void gauss() { for(int i=1;i<=n;i++) { if(!a[i][i])for(int j=i+1;j<=n;j++) if(a[j][i]) { for(int k=i;k<=n+1;k++)swap(a[i][k],a[j][k]); break; } for(int j=i+1;j<=n;j++) { double b=a[j][i]/a[i][i]; for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]-=b*a[i][k]; } } for(int i=n;i;i--) { a[i][n+1]/=a[i][i],f[i]=a[i][n+1],a[i][i]=1; for(int j=i-1;j;j--)a[j][n+1]-=a[j][i]*f[i],a[j][i]=0; } } int main() { //freopen("lx.in","r",stdin); n=getint(),m=getint(); for(int i=1;i<=m;i++)X[i]=getint(),Y[i]=getint(),du[X[i]]++,du[Y[i]]++; for(int i=1;i<=m;i++)if(X[i]!=n&&Y[i]!=n) a[X[i]][Y[i]]+=1.0/du[Y[i]],a[Y[i]][X[i]]+=1.0/du[X[i]]; for(int i=1;i<n;i++)a[i][i]=-1; a[1][n+1]=-1,a =a [n+1]=1; gauss(); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=X[i],y=Y[i];if(x>y)swap(x,y); if(y==n)g[i]=f[x]/du[x]; else g[i]=f[x]/du[x]+f[y]/du[y]; } sort(g+1,g+m+1); for(int i=1;i<=m;i++)ans+=(m+1-i)*g[i]; printf("%0.3lf",ans); return 0; }
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