MIT线性代数笔记-第十三讲

第十三讲是习题课

1.在R7R7中的非零向量u,v,w形成一个子空间,纬度可能是?

1或2或3

2.5*3的一个矩阵u(3-4都是用的这个矩阵),rank为3,它的零空间为?

只有零向量

3.矩阵

[u2u]的echelonform为?[u2u]的echelonform为?

[u0][u0]

4.

[uuu0][uuu0]的echelon form为?

[uuu0]−>[u0u−u]−>[u00−u][uuu0]−>[uu0−u]−>[u00−u]

注意，有可能进行行转换，因为u可能有行为0向量

rank = 6

dimN(CTCT) = 10 - 6 = 4

5.

AX=⎡⎣⎢242⎤⎦⎥AX=[242]

x=⎡⎣⎢200⎤⎦⎥+c⎡⎣⎢110⎤⎦⎥+d⎡⎣⎢001⎤⎦⎥x=[200]+c[110]+d[001]

A的m,n?3 * 3(很容易就可以看出了，通过b的行数解出m，通过零空间的行数解出n)

rank?1(3 - 2,2代表的是free variables的个数，即为零空间basis的个数)

dimN(A)?2

如何构建出A?

由b和x的一个特殊解可以求出第一列

⎡⎣⎢121??????⎤⎦⎥[1??2??1??]

再由两个零空间的basis可以分别得出2,3列，即:

⎡⎣⎢121−1−2−1000⎤⎦⎥[1−102−201−10]

Ax = b can be solve if?

我们注意到,A的rank为1,因此它的column space为R1R1,直接用第一列乘以常数即可。也就是

b is a multiple of

⎡⎣⎢121⎤⎦⎥[121]

6.有一个方阵，它的零空间为零向量，那么它的转置的零空间为?零向量

7.5*5 矩阵，它的所有可逆矩阵是否能形成一个子空间?否

8.B2=0B2=0是否可以得到B = 0?否

B=[0010]B=[0100]

9.n * n independent cols,always solvable for every b?Yes

10.

B=⎡⎣⎢101110001⎤⎦⎥⎡⎣⎢100010−1102−10⎤⎦⎥B=[110010101][10−12011−10000]

求出B的零空间

有一个规律，如果C为可逆矩阵，那么N(CD)=N(D)N(CD)=N(D)

我们注意到左边的矩阵可逆，因此直接看右边的矩阵,它是R形式，于是可以得出

⎡⎣⎢⎢⎢1−110⎤⎦⎥⎥⎥and⎡⎣⎢⎢⎢−2101⎤⎦⎥⎥⎥[1−110]and[−2101]

求出

BX=⎡⎣⎢101⎤⎦⎥BX=[101]的完整解?

我们通关观察得知B的第一列就是b(其他列不用看),因此可以直接得出特殊解:

⎡⎣⎢⎢⎢1000⎤⎦⎥⎥⎥[1000]然后与零空间basis组合即可

11.如果A,B有同样的四个子空间(行空间，零空间，列空间，转置零空间),那么A = cB,正确与否？否

example:A,B为6*6矩阵中的任意可逆矩阵

12.

v=⎡⎣⎢123⎤⎦⎥v=[123]不能在零空间且为A的一行，为什么?

example:

⎡⎣⎢1xx2xx3xx⎤⎦⎥⎡⎣⎢123⎤⎦⎥=⎡⎣⎢000⎤⎦⎥[123xxxxxx][123]=[000]不成立