特征向量的线性无关性

特征向量的线性无关性

设 λ1,⋯,λmλ1,⋯,λm 是线性变换 ff 的 mm 个不同的特征值，

ξi1,⋯,ξiniξi1,⋯,ξini 是属于 λiλi 的 nini 个线性无关的特征向量，

则所有这些这些向量组成的向量组：

ξ11,⋯,ξ1n1,⋯,ξm1,⋯,ξmnmξ11,⋯,ξ1n1,⋯,ξm1,⋯,ξmnm也线性无关。

证明

命题就是：

∑i=1m∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,∑i=1m∑j=1nikijξij=0→⇒kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,

m=1m=1 时命题显然成立。

假设 mm 时命题成立。则 m+1m+1 时：

设 ∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0⃗ ∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0→

则 f(∑i=1m+1∑j=1nikijξij)=f(0⃗ )=0⃗ f(∑i=1m+1∑j=1nikijξij)=f(0→)=0→

⇒∑i=1m+1∑j=1nikijf(ξij)=0⃗ ⇒∑i=1m+1∑j=1nikijf(ξij)=0→

⇒∑i=1m+1∑j=1nikijλiξij=0⃗ ⇒∑i=1m+1∑j=1nikijλiξij=0→

⇒∑i=1m+1λi∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒∑i=1m+1λi∑j=1nikijξij=0→

又 λm+1∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0⃗ λm+1∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0→

⇒∑i=1m+1λm+1∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒∑i=1m+1λm+1∑j=1nikijξij=0→

因此 ∑i=1m+1(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0⃗ ∑i=1m+1(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0→

⇒∑i=1m(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒∑i=1m(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0→

⇒∑i=1m∑j=1ni(λi−λm+1)kijξij=0⃗ ⇒∑i=1m∑j=1ni(λi−λm+1)kijξij=0→

由归纳假设，(λi−λm+1)kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,(λi−λm+1)kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,

由于 λi≠λm+1,i,∈N,1≤i≤m,λi≠λm+1,i,∈N,1≤i≤m, 因此

kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,

于是 ∑j=1nm+1k(m+1)jξ(m+1)j=0⃗ ∑j=1nm+1k(m+1)jξ(m+1)j=0→

⇒k(m+1)j=0,j∈N,1≤j≤nm+1,⇒k(m+1)j=0,j∈N,1≤j≤nm+1,

因此 kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,