两个线性空间的可逆线性映射

线性映射的逆映射

对于从 mm 维线性空间 UU 到 nn 维线性空间 VV 的任意一个线性映射 f,f, 若存在从 VV 到 UU 的一个映射 g,g,

使得 f∘g=In,g∘f=Im,f∘g=In,g∘f=Im, 则称 gg 为 ff 的逆映射，记为 f−1f−1 。

逆映射的唯一性

若存在从 UU 到 VV 的两个线性映射 g,g′g,g′ 使得 f∘g=In,g∘f=Im,f∘g=In,g∘f=Im, 且 f∘g′=In,g′∘f=Im,f∘g′=In,g′∘f=Im, 则 g=g′g=g′ 。

证明

g=g∘In=g∘(f∘g′)=(g∘f)∘g′=Im∘g′=g′g=g∘In=g∘(f∘g′)=(g∘f)∘g′=Im∘g′=g′

可逆的必要条件

若 ff 可逆，则 ff 是满射，即 ff 的值域 ranf=Vranf=V 。

证明

对于任意一个向量 α∈V,α∈V, 存在向量 β=f−1(α)∈U,β=f−1(α)∈U, 使得

f(β)=f(f−1(α))=(f∘f−1)(α)=αf(β)=f(f−1(α))=(f∘f−1)(α)=α

若 ff 可逆，则 ff 是单射。

证明

对于任意两个向量 α,β∈U,α,β∈U,

f(α)=f(β)⇒f−1(f(α))=f−1(f(β))f(α)=f(β)⇒f−1(f(α))=f−1(f(β))

⇒(f−1∘f)(α)=(f−1∘f)(β)⇒α=β⇒(f−1∘f)(α)=(f−1∘f)(β)⇒α=β

由1，2得，若 ff 可逆，则 ff 是一一映射。

由3得，可逆的线性映射是同构映射。

可逆的充分条件

若线性映射 ff 是一一映射，则 ff 可逆。

定义线性空间 VV 上的关系 g={(α,β):α∈V,β∈U∧f(β)=α},g={(α,β):α∈V,β∈U∧f(β)=α}, 则：

1. gg 是一个函数。

证明：

∀α∈V,β∈U,(α,β)∈g∧(α,β′)∈g∀α∈V,β∈U,(α,β)∈g∧(α,β′)∈g

⇒f(β)=α∧f(β′)=α⇒β=β′⇒f(β)=α∧f(β′)=α⇒β=β′

2. gg 的定义域是 VV 。

证明：

ff 是一一映射，因此 ∀α∈V,∃β∈U,∀α∈V,∃β∈U, 使得 α=f(β),α=f(β),

则 (α,β)∈g,(α,β)∈g, 因此 gg 的定义域是 VV 。

3. f∘g=g∘f=If∘g=g∘f=I 。

证明：

∀α∈V,∀α∈V, 令 β=g(α),β=g(α), 则 f(β)=α,f(β)=α, 因此 (f∘g)(α)=f(g(α))=f(β)=α(f∘g)(α)=f(g(α))=f(β)=α

∀β∈U∀β∈U 令 α=f(β),α=f(β), 则 g(α)=β,g(α)=β, 因此 (g∘f)(β)=g(f(β))=g(α)=β(g∘f)(β)=g(f(β))=g(α)=β

可逆的充要条件

ff 可逆的充要条件是： ff 是一一映射。

性质

性质1

若线性映射可逆，则线性映射的逆映射也是线性映射。

即：对于从 UU 到 VV 的任意一个线性映射 f,f, 若 ff 可逆，

则它的逆映射 f−1f−1 也是线性映射。

证明

f−1f−1 是 ff 的逆映射，因此 f∘f−1=In,f−1∘f=Imf∘f−1=In,f−1∘f=Im 。则

对于任意两个向量 α,β∈V,α,β∈V, 以及任意的 k∈Pk∈P ：

f−1(α+β)=f−1((f∘f−1)(α)+(f∘f−1)(β))f−1(α+β)=f−1((f∘f−1)(α)+(f∘f−1)(β))

=f−1(f(f−1(α))+f(f−1(β)))=f−1(f(f−1(α))+f(f−1(β)))

=f−1(f(f−1(α)+f−1(β)))=f−1(f(f−1(α)+f−1(β)))

=(f−1∘f)(f−1(α)+f−1(β))=(f−1∘f)(f−1(α)+f−1(β))

=f−1(α)+f−1(β)=f−1(α)+f−1(β)

f−1(kα)=f−1(k((f∘f−1)(α)))f−1(kα)=f−1(k((f∘f−1)(α)))

=f−1(kf(f−1(α)))=f−1(kf(f−1(α)))

=f−1(f(kf−1(α)))=f−1(f(kf−1(α)))

=(f−1∘f)(kf−1(α))=(f−1∘f)(kf−1(α))

=kf−1(α)=kf−1(α)

因此 f−1f−1 也是线性映射。

性质2

若 ff 可逆，则它的逆映射 f−1f−1 也可逆，且 (f−1)−1=f(f−1)−1=f 。

证明

由定义可得 f∘f−1=In,f−1∘f=Imf∘f−1=In,f−1∘f=Im 。